8 Definicion axiomatica de probabilidad (Kolmogorov)

Sea $\Omega$ un espacio muestral y $\mathscr{A}$ una $\sigma$ -algebra sobre $\Omega$ .

Definición I.9.

El par $(\Omega,\mathscr{A})$ recibe el nombre de espacio probabilizable.

A partir de esto podemos establecer la definicion formal de suceso aleatorio.

Definición I.10.

Dado un espacio muestral $\Omega$ y una $\sigma$ -algebra $\mathscr{A}$ sobre $\Omega$ , un suceso aleatorio $A$ es cualquier elemento de $\mathscr{A}$ , $A\in\mathscr{A}$ .

Observación I.1.

En los casos en los que el espacio muestral es un conjunto numerable, lo mas habitual es tomar como $\sigma$ -algebra $\mathcal{{P}}(\Omega)$ y trabajar con el espacio probabilizable $(\Omega,\mathcal{{P}}(\Omega))$ .

Definición I.11 (Axiomatica de Kolmogorov).

Sea $(\Omega,\mathscr{A})$ un espacio probabilizante. Se dice que una función $P\colon\mathscr{A}\to\mathbb{R}$ es una probabilidad sobre $(\Omega,\mathcal{{A}})$ si verifica las siguientes propiedades:

1.

$P(A)\geq 0$ para cualquier suceso $A\in\mathscr{A}$ .
2.

$P(\Omega)=1$
3.

Si $\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\Omega$ son sucesos incompatibles dos a dos, es decir, si

$A_{i}\cap A_{j}=\varnothing\text{ para cualquier }i\neq j$

entonces

$P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}P(A_{n})$

La terna $(\Omega,\mathscr{A},P)$ recibe el nombre de espacio probabilistico.