2 Sucesos aleatorios

Definición I.3.

Un suceso aleatorio o evento aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral $\Omega$ , es decir, cualquiera de las cosas que puede suceder (o no suceder) al realizar un experimento aleatorio:

A\text{ es suceso aleatorio }\equiv A\subset\Omega\quad\text{ (definicion % provisional)}

Definición I.4.

Un suceso $A$ ocurre si el resultado del experimento aleatorio es alguno de los elementos de $A$ .

Los sucesos aleatorios pueden contener uno o varios de los resultados posibles del experimento. A los sucesos que tienen un unico elemento se les da el nombre de sucesos elementales. El suceso seguro es el suceso que siempre ocurre (coincide con $\Omega$ ). El suceso imposible es aquel que nunca se verifica como resultado del experimento (coincide con $\varnothing$ ).

Definición I.5.

Dado un evento $A\subset\Omega$ , el suceso no ocurre $A$ esta formado por los resultados que no pertenecen a $A$ , y recibe el nombre de suceso complementario o suceso contrario de $A$ . Se denota por $A^{c}$ o $\overline{A}$ .

Dados dos eventos $A,B\subset\Omega$ ,

La union de $A$ y $B$ , $A\cup B$ , es el suceso $A$ o $B$ , es decir, el evento que se verifica cuando ocurre al menos uno de los dos sucesos:

$A\cup B=\left\{\omega\in\Omega\colon\omega\in A\text{ o }\omega\in B\right\}$

Si ocurre $A\cup B$ , o bien ocurre $A$ o bien ocurre $B$ , incluyendo la posibilidad de que ocurran ambos.
La interseccion $A$ y $B$ , $A\cap B$ , es el suceso $A$ y $B$ es decir, el evento que se verifica cuando ocurren ambos sucesos al mismo tiempo:

$A\cap B=\left\{\omega\in\Omega\mid\omega\in A\text{ y ademas }\omega\in B\right\}$

Si ocurre $A\cap B$ ocurren tanto $A$ como $B$ .

Definición I.6.

Dados $A,B\subset\Omega$ , se dice que son sucesos incompatibles si no tienen ningun elemento en comun, es decir, si son conjuntos disjuntos (o mutuamente incluyentes).

A,B\text{ incompatibles }\equiv A\cap B=\varnothing

Si dos sucesos son incompatibles, no pueden suceder ambos al mismo tiempo.

Dados los sucesos $A,B,C\subset\Omega$ se verifican las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva de los conjuntos.

Dados dos sucesos $A,B\subset\Omega$ se verifican las leyes de De Morgan:

$(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}$
$(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}$

La diferencia de $A$ y $B$ , que se denota $A-B$ o $A\setminus B$ es el evento que se verifica cuando ocurre $A$ pero no ocurre $B$ :

A\setminus B=A-B=\left\{\omega\in\Omega\mid\omega\in A\text{ y ademas }\omega% \notin B\right\}=A\cap B^{c}

La diferencia simetrica de $A$ y $B$ que se denota $A\triangle B$ , es el suceso que se verifica cuando o bien ocurre solamente $A$ o bien ocurre solamente $B$ .

A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)=(A\cup B)\setminus(B\cap A)

Ejemplo I.1.

Dados tres sucesos $A$ , $B$ y $C$ , escribir expresiones conjuntistas para los siguientes eventos:

1.

Solo ocurre $A$ : $A\cap B^{c}\cap C^{c}$
2.

Al menos dos sucesos entre $A$ , $B$ y $C$ ocurren: $(\overline{A}\cap B\cap C)\cup(A\cap\overline{B}\cap C)\cup(A\cap B\cap% \overline{C})$
3.

Solo un suceso de los tres ocurre: $(A\cap B^{c}\cap C^{c})\cup(A^{c}\cap B\cap C^{c})\cup(A^{c}\cap B^{c}\cap C)$ .
4.

Ninguno de los tres ocurre: $A^{c}\cap B^{c}\cap C^{c}$