9 Propiedades de la probabilidad

Proposition 9.1.

Sean (Ω,𝒜︁)(\Omega,\mathscr{A}) un espacio probabilizante y PP una probabilidad sobre (Ω,𝒜︁)(\Omega,\mathscr{A}). Entonces

  1. 1.
    ​

    Para cualquier suceso A∈𝒜︁A\in\mathscr{A} se verifica P⁢(Ac)=1−P⁢(A)P(A^{c})=1-P(A).

  2. 2.
    ​

    P⁢(∅)=0P(\varnothing)=0.

Proof 9.2.
  1. 1.
    ​

    Como Ω=A∪Ac\Omega=A\cup A^{c} con AA y AcA^{c} disjuntos y P⁢(Ω)=1⇒1=P⁢(Ω)=P⁢(A)+P⁢(Ac)⇒P⁢(Ac)=1−P⁢(A)P(\Omega)=1\Rightarrow 1=P(\Omega)=P(A)+P(A^{c})\Rightarrow P(A^{c})=1-P(A).

  2. 2.
    ​

    Como ∅=Ωc⇒P⁢(∅)=1−P⁢(Ω)=0\varnothing=\Omega^{c}\Rightarrow P(\varnothing)=1-P(\Omega)=0.

Proposition 9.3.

Sean (Ω,𝒜︁,P)(\Omega,\mathscr{A},P) un espacio probabilistico y A,B∈𝒜︁A,B\in\mathscr{A} dos sucesos cualesquiera. Entonces

  1. 1.
    ​

    Si A⊂B⇒P⁢(B∖A)=P⁢(B)−P⁢(A)A\subset B\Rightarrow P(B\setminus A)=P(B)-P(A)

  2. 2.
    ​

    Si A⊂B⇒P⁢(A)≤P⁢(B)A\subset B\Rightarrow P(A)\leq P(B)

  3. 3.
    ​

    P⁢(A∪B)=P⁢(A)+P⁢(B)−P⁢(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

  4. 4.
    ​

    P⁢(A∪B)≤P⁢(A)+P⁢(B)P(A\cup B)\leq P(A)+P(B)

  5. 5.
    ​

    0≤P⁢(A)≤10\leq P(A)\leq 1

Proof 9.4.
  1. 1.
    ​

    Si A⊂BA\subset B, B=A∪(B∖A)B=A\cup(B\setminus A) union de disjuntos. Por tanto, P⁢(B)=P⁢(A)+P⁢(B∖A)⇒P⁢(B∖A)=P⁢(B)−P⁢(A)P(B)=P(A)+P(B\setminus A)\Rightarrow P(B\setminus A)=P(B)-P(A).

  2. 2.
    ​

    P⁢(B)=P⁢(A)+P⁢(B∖A)≥P⁢(A)P(B)=P(A)+P(B\setminus A)\geq P(A).

  3. 3.
    ​

    A∪B=A∪(B∖A)=A∪(B∖(A∩B))A\cup B=A\cup(B\setminus A)=A\cup(B\setminus(A\cap B)) union de disjuntos. Luego P⁢(A∪B)=P⁢(A)+P⁢(B∖(A∩B))=P⁢(A)+P⁢(B)−P⁢(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus(A\cap B))=P(A)+P(B)-P(A\cap B).

  4. 4.
    ​

    Obvio.

  5. 5.
    ​

    Obvio.