11 Limites de sucesiones de conjuntos

Consideremos una sucesion de eventos (conjuntos) sobre un espacio muestral Ω\Omega,

{An}n∈ℕ⊂Ω\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\Omega
Definition 11.1.

El limite superior de la sucesion

{An}n∈ℕ\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}

se define como

limsupAn={ω∈Ai⁢ para un numero infinito de valores de ⁢i}\lim\sup A_{n}=\left\{\omega\in A_{i}\text{ para un numero infinito de valores% de }i\right\}
Proposition 11.2.
limsupAn=⋂n=1∞⋃i=n∞Ai\lim\sup A_{n}=\bigcap^{\infty}_{n=1}\bigcup^{\infty}_{i=n}A_{i}
Definition 11.3.

El limite inferior de la sucesion

{An}n∈ℕ\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}

se define como

liminfAn={ω∈Ai⁢ para un numero infinito de valores de ⁢i}\lim\inf A_{n}=\left\{\omega\in A_{i}\text{ para un numero infinito de valores% de }i\right\}
Proposition 11.4.
liminfAn=⋃n=1∞⋂i=n∞Ai\lim\inf A_{n}=\bigcup^{\infty}_{n=1}\bigcap^{\infty}_{i=n}A_{i}
Remark 11.5.

Para cualquier sucesion de conjuntos {An}n∈ℕ⊂Ω\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\Omega se verifica

liminfAn⊂limsupAn\lim\inf A_{n}\subset\lim\sup A_{n}
Definition 11.6.

Se dice que la sucesion {An}n∈ℕ⊂Ω\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\Omega es convergente si se verifica

limsupAn=liminfAn\lim\sup A_{n}=\lim\inf A_{n}

es decir, si

⋂n=1∞⋃i=n∞Ai=⋃n=1∞⋂i=n∞Ai\bigcap^{\infty}_{n=1}\bigcup^{\infty}_{i=n}A_{i}=\bigcup^{\infty}_{n=1}% \bigcap^{\infty}_{i=n}A_{i}

En estos casos, a ese conjunto comun se le llama limite de la sucesion de eventos {An}n∈ℕ\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}:

limAn=limsupAn=liminfAn\lim A_{n}=\lim\sup A_{n}=\lim\inf A_{n}
Definition 11.7.

Se dice que {An}n∈ℕ⊂Ω\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\Omega es una sucesion no decreciente si para todo n∈ℕn\in\mathbb{N} se verifica que

An⊂An+1A_{n}\subset A_{n+1}

Se dice que {An}n∈ℕ⊂Ω\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\Omega es una sucesion no creciente si para todo n∈ℕn\in\mathbb{N} se verifica

An+1⊂AnA_{n+1}\subset A_{n}

Si una sucesion de conjuntos es no creciente o no decreciente se dice que es una sucesion monotona.

Proposition 11.8.

Si {An}n∈ℕ⊂Ω\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\Omega es monotona, entonces es una sucesion convergente.

Dado un espacio de probabilidad (Ω,𝒜︁,P)(\Omega,\mathscr{A},P) y una sucesion de eventos {An}n∈ℕ⊂Ω\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\Omega, una pregunta natural es cuestionarse en que casos el limite de las probabilidades coincide con la probabilidad del limite.

El resultado siguiente nos proporciona la respuesta a esta cuestion

Theorem 11.9.

Si {An}n∈ℕ⊂Ω\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\Omega es una sucesion convergente sobre (Ω,𝒜︁,P)(\Omega,\mathscr{A},P) entonces se verifica

P⁢(limAn)=limn→∞P⁢(An)P(\lim A_{n})=\lim\limits_{n\to\infty}P(A_{n})