10 La σ\sigma-algebra de Borel

Definition 10.1.

Consideremos la coleccion de todos los intervalos abiertos (a,b)(a,b) de ℝ\mathbb{R} con a<ba<b. A la minima σ\sigma-algebra sobre esta coleccion de conjuntos se le da el nombre de σ\sigma-algebra de Borel, y se denota por ℬ︀⁢(ℝ)\mathcal{{B}}(\mathbb{R}) o simplemente por ℬ︀\mathcal{{B}}:

ℬ︀=ℬ︀⁢(ℝ)=σ⁢{(a,b)⊂ℝ∣a<b}\mathcal{{B}}=\mathcal{{B}}(\mathbb{R})=\sigma\left\{(a,b)\subset\mathbb{R}% \mid a<b\right\}

A los elementos de ℬ︀\mathcal{{B}} se les llama bolerianos, conjuntos de Borel, o conjuntos Borel-medibles.

Remark 10.2.

El par (ℝ,ℬ︀)(\mathbb{R},\mathcal{{B}}) es un espacio probabilizable, y por tanto sobre el podemos definir diferentes probabilidades.

Proposition 10.3.

Para cualesquiera numeros reales a<ba<b, los conjuntos

[a,b],[a,b),(a,b],(a,∞),(−∞,b),[a,∞),(−∞,b],{a}[a,b],[a,b),(a,b],(a,\infty),(-\infty,b),[a,\infty),(-\infty,b],\left\{a\right\}

son todos elementos de ℬ︀⁢(ℝ)\mathcal{{B}}(\mathbb{R}).

Notese que los complementarios, intersecciones y uniones de estos conjuntos son tambien borelianos, y por tanto la σ\sigma-algebra ℬ︀⁢(ℝ)\mathcal{{B}}(\mathbb{R}) es muy amplia.

Proposition 10.4.

Las siguientes σ\sigma-algebras son todas identicas a ℬ︀⁢(ℝ)\mathcal{{B}}(\mathbb{R}):

  1. 1.
    ​

    σ⁢{[a,b]∣a<b}\sigma\left\{[a,b]\mid a<b\right\}

  2. 2.
    ​

    σ⁢{[a,b)∣a<b}\sigma\left\{[a,b)\mid a<b\right\}

  3. 3.
    ​

    σ⁢{(a,b]∣a<b}\sigma\left\{(a,b]\mid a<b\right\}

  4. 4.
    ​

    σ⁢{(a,∞)∣a∈ℝ}\sigma\left\{(a,\infty)\mid a\in\mathbb{R}\right\}

  5. 5.
    ​

    σ⁢{(−∞,b)∣b∈ℝ}\sigma\left\{(-\infty,b)\mid b\in\mathbb{R}\right\}

  6. 6.
    ​

    σ⁢{[a,∞)∣b∈ℝ}\sigma\left\{[a,\infty)\mid b\in\mathbb{R}\right\}

  7. 7.
    ​

    σ⁢{(∞,b]∣b∈ℝ}\sigma\left\{(\infty,b]\mid b\in\mathbb{R}\right\}