5 σ\sigma-álgebras: definición y propiedades

Definición I.7.

Sean Ω\Omega un espacio muestral y 𝒜︁\mathscr{{A}} una coleccion de subconjuntos de Ω\Omega (𝒜︁⊂𝒫︀(Ω)\mathscr{{A}}\subset\mathcal{{P}}(\Omega)).

Se dice que 𝒜︁\mathscr{A} es una sigma-algebra sobre Ω\Omega si verifica las siguientes propiedades:

  1. 1.
    ​

    Ω∈𝒜︁\Omega\in\mathscr{A}

  2. 2.
    ​

    Si A∈𝒜︁→Ac∈𝒜︁A\in\mathscr{A}\to A^{c}\in\mathscr{A}.

  3. 3.
    ​

    Si {An}n∈ℕ∈𝒜︁⇒⋃∞n=1An∈𝒜︁\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\in\mathscr{A}\Rightarrow\bigcup^{\infty}% _{n=1}A_{n}\in\mathscr{A}

Es decir, una σ\sigma-algebra es una coleccion de subconjuntos de Ω\Omega que contiene al suceso seguro y es cerrada bajo complementacion y uniones numerables. Sobre un mismo espacio muestral Ω\Omega pueden definirse diferentes σ\sigma-algebras.

Ejemplo I.3.

Consideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado, cuyo espacio muestral es Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}. Sobre este espacio muestral podemos definir varias σ\sigma-algebras, como por ejemplo

  1. 1.
    ​

    𝒜︁1={∅,Ω}\mathscr{A}_{1}=\left\{\varnothing,\Omega\right\} (trivial)

  2. 2.
    ​

    𝒜︁={∅,{1,2},{3,4,5,6},Ω}\mathscr{A}=\left\{\varnothing,\left\{1,2\right\},\left\{3,4,5,6\right\},% \Omega\right\}

  3. 3.
    ​

    𝒜︁=𝒫︀(Ω)\mathscr{A}=\mathcal{{P}}(\Omega) (mayor σ\sigma-algebra sobre Ω\Omega)

Proposición I.1.

Sean Ω\Omega un espacio muestral, y 𝒜︁\mathscr{A} una σ\sigma-algebra sobre Ω\Omega. Entonces

  1. 1.
    ​

    ∅∈𝒜︁\varnothing\in\mathscr{A}.

  2. 2.
    ​

    Si {An}n∈ℕ∈𝒜︁→∩∞n=1An∈𝒜︁\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\in\mathscr{A}\to\cap^{\infty}_{n=1}A_{n}% \in\mathscr{A}

Demostración.
  1. 1.
    ​

    Ω∈𝒜︁→Ωc∈𝒜︁→∅∈𝒜︁\Omega\in\mathscr{A}\to\Omega^{c}\in\mathscr{A}\to\varnothing\in\mathscr{A}.

  2. 2.
    ​

    Si {An}n∈ℕ∈𝒜︁⇒{Acn}n∈ℕ∈𝒜︁⇒∪∞n=1Acn∈𝒜︁⇒(∪∞n=1Acn)c∈𝒜︁⇒∩∞n=1An∈𝒜︁\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\in\mathscr{A}\Rightarrow\left\{A^{c}_{n}% \right\}_{n\in\mathbb{N}}\in\mathscr{A}\Rightarrow\cup^{\infty}_{n=1}A^{c}_{n}% \in\mathscr{A}\Rightarrow(\cup^{\infty}_{n=1}A^{c}_{n})^{c}\in\mathscr{A}% \Rightarrow\cap^{\infty}_{n=1}A_{n}\in\mathscr{A}.

∎

Esta proposicion establece que las σ\sigma-algebras tambien son cerradas bajo diferencias y diferencias simetricas.

Proposición I.2.

Sean Ω\Omega un espacio muestral y 𝒜︁\mathscr{A} una σ\sigma-algebra sobre Ω\Omega. Entonces

  1. 1.
    ​

    Si A,B∈𝒜︁⇒A∖B∈𝒜︁A,B\in\mathscr{A}\Rightarrow A\setminus B\in\mathscr{A}

  2. 2.
    ​

    Si A,B∈𝒜︁⇒A△B∈𝒜︁A,B\in\mathscr{A}\Rightarrow A\triangle B\in\mathscr{A}

Proposición I.3.

Sean 𝒜︁\mathscr{A} y 𝒜︁∗\mathscr{A}^{\ast} dos σ\sigma-algebras de conjuntos sobre un mismo espacio muestral Ω\Omega. Entonces 𝒜︀∩𝒜︁∗\mathcal{{A}}\cap\mathscr{A}^{\ast} es tambien una σ\sigma-algebra sobre Ω\Omega.