6 Mínima $\sigma$ -algebra sobre una coleccion de sucesos

Consideremos un espacio muestral $\Omega$ y una coleccion de subconjuntos del mismo, $\mathscr{C}\subset\mathcal{{P}}(\Omega)$ .

Definition 6.1.

La $\sigma$ -algebra generada por $\mathscr{C}$ es la coleccion de sucesos

\sigma(\mathscr{C})=\cap\left\{\mathcal{{A}}\colon\mathcal{{A}}\text{ es }% \sigma\text{-álgebra y }\mathscr{C}\subset\mathscr{A}\right\}

A $\sigma(\mathscr{C})$ tambien se le da el nombre de minima $\sigma$ -algebra sobre $\mathcal{{C}}$ .

En breve analizaremos una $\sigma$ -algebra fundamental en calculo de probabilidades: la sigma-algebra de Borel.

Consideremos la coleccion de todos los intervalos abiertos $(a,b)$ de $\mathbb{R}$ con $a<b$ .

A la minima $\sigma$ -algebra sobre esta coleccion de conjuntos se le llama $\sigma$ -algebra de Borel, y se denota por $\mathcal{{B}}(\mathbb{R})$ o simplemente por $\mathcal{{B}}$ :

\mathcal{{B}}=\mathcal{{B}}(\mathbb{R})=\sigma\left\{(a,b)\subset\mathbb{R}% \mid a\leq b\right\}

A los elementos de $\mathcal{{B}}$ se les llama borealianos, conjuntos de Borel o conjuntos Borel-medibles.

6 Mínima σ\sigma-algebra sobre una coleccion de sucesos

6 Mínima $\sigma$ -algebra sobre una coleccion de sucesos