44 Teoremas del limite central

Example 44.1.

Consideremos una coleccion $\left\{X_{i}\right\}_{i\in\mathbb{N}}$ de variables aleatorias e identicamente distribuidas con distribucion comun

X_{i}\sim Exp(0.5)

1.

Cuales son la esperanza y la varianza de $\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ ? $E(S_{n})=nE(X_{i})=2n$ , $V(S_{n})=nV(X_{i})=4n$ .
2.

Que ocurre con la varianza de $\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ cuando $n$ tiende a infinito? Tiende a infinito.
3.

Puede decirse algo sobre la distribucion de probabilidad de $\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ cuando $n$ tiende a infinito? Su distribucion tipificada tiende a la normal estandar por el TCL.

Los teoremas del limite central establecen cual es la distribucion limite de $\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ (y tambien de $\overline{X_{n}}$ ) en situaciones de este tipo.

Recordemos que cualquier combinacion lineal de distribuciones normales sigue tambien una distribucion normal. Por tanto, si $X_{1},\ldots,X_{n}$ son variables aleatorias independientes y con distribucion normal de esperanza $\mu$ y varianza $\sigma^{2}$ , es decir, si

X_{1},\ldots,X_{n}\overset{i.i.d.}{\sim}N(\mu,\sigma^{2}),

entonces:

•

La distribucion de la suma de estas $n$ variables es

$S_{n}=\sum_{i=1}^{n}X_{i}=X_{1}+\cdots+X_{n}\sim N(n\mu,n\sigma^{2})$
•

La distribucion del promedio de estas $n$ variables es

$\overline{X_{n}}=\frac{X_{1}+\cdots+X_{n}}{n}\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}% {n}\right)$

Nos planteamos ahora que ocurre con el promedio $\overline{X_{n}}$ y la distribucion de la suma $S_{n}$ si $X_{1},\ldots,X_{n}$ son variables aleatorias i.i.d. pero su distribucion comun no es gaussiana. Vamos a ver un resultado que nos dice que, si $n$ es suficientemente grande, las distribuciones de $\overline{X_{n}}$ y $S_{n}$ se asemejan mucho a una normal.

Para poder enunciar esto correctamente, se debe definir otra forma de convergencia estocastica.

Definition 44.2.

Se dice que una sucesion de variables aleatorias $\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge en distribucion a una variable aleatoria $X$ si verifica

\lim\limits_{n\to\infty}F_{X_{n}}(x)=F_{X}(x)

en todos los puntos $x$ donde $F_{X}(x)$ es continua. Esto se denota por $X_{n}\overset{d}{\to}X$ .

A partir de esto, podemos pasar a enunciar el teorema del limite central en su version mas sencilla:

Theorem 44.3.

Sea $X_{1},X_{2},\ldots$ una sucesion de variables aleatorias i.i.d. con $\mu=E(X_{i})$ y $\sigma^{2}=V(X_{i})<\infty$ . Definimos

\overline{X_{n}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}}{n}

y sea $G_{n}(x)$ la funcion de distribucion de la variable aleatoria $\frac{\overline{X_{n}}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ . Entonces, para todo $x\in\mathbb{R}$ se verifica

\lim\limits_{n\to\infty}G_{n}(x)=\int^{x}_{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-% \frac{y^{2}}{2}}dy=\Phi(x)

es decir, la variable aleatoria

\frac{\overline{X_{n}}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}

converge en distribucion a la normal estandar, $Z$ .

Este resultado es valido para variables discretas como continuas, sean simetricas o asimetricas, unimodales o multimodales, etc. Mas exactamente, lo que asegura este teorema es que si $X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}$ son i.i.d. con $E(X_{i})=\mu$ , $V(X_{i})=\sigma^{2}$ , entonces la funcion de distribucion de la variable aleatoria

\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}

tiende a $\Phi$ cuando $n\to\infty$ .

Es decir, esta version para variables i.i.d. del teorema del limite central establece que, si la varianza comun es finita, entonces,

\frac{\overline{X_{n}}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\overset{d}{\to}Z

donde $Z$ denota, como es habitual, la distribucion normal estandar.

Example 44.4.

Vamos a usar el caso de lanzamiento de un dado equilibrado. El resultado de cada lanzamiento es una variable aleatoria discreta, $X$ , con funcion de masa

X\equiv\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\ \frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\ \end{pmatrix}

La distribucion de $X$ difiere mucho de una normal. Observemos que la esperanza de $X$ es

E(X)=1\cdot\frac{1}{6}+2\cdot\frac{1}{6}+\cdots+6\cdot\frac{1}{6}=\frac{21}{6}% =3.5

Ademas

E(X^{2})=1^{2}\cdot\frac{1}{6}+2^{2}\cdot\frac{1}{6}+\cdots+6^{2}\cdot\frac{1}% {6}=\frac{91}{6}=15.17

Por tanto la varianza de $X$ es

V(X)=E(X^{2})-E^{2}(X)=15.17-3.5^{2}

Supongamos ahora que no lanzamos el dado una sola vez, sino $n$ veces. Los $n$ lanzamientos son $n$ variables aleatorias independientes y todas con la misma distribucion:

X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}\equiv\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\ \frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\ \end{pmatrix}

El promedio de las $n$ puntuaciones es otra variable aleatoria

\overline{X}=\frac{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}}{n}

El TCL implica que, cuando $n$ es grande, se tiene

\overline{X}\simeq N(\mu=3.5,\sigma^{2}=\frac{2.92}{n})

La clave de la demostracion deeste resultado es que la normalidad se obtiene por la suma de cantidades “pequeñas” e independientes. Notese que es necesario asumir varianzas finitas para obtener normalidad.

En general no sabemos como de rapido se da esta convergencia a la normalidad. Es necesario comprobarlo para cada distribucion.

Example 44.5.

Supongamos que simulamos muestras aleatorias de tamaño $n$ de una variable aleatoria $X$ que sigue una distribucion exponencial con media $10$ , es decir, cuya funcion de densidad es

f(x)=\begin{cases}0\quad&\text{ si }x<0\\ \frac{1}{10}e^{-\frac{x}{10}}&\text{ si }x\geq 0\end{cases}

Se simularon muetras de la variable exponencial anterior, con tamaños muestrales $n=5$ y $n=25$ . Esto se repitio $1000$ veces, es decir, $1000$ veces se generaron muestras de la $v.a.$ exponencial con esos dos tamaños, y para cada muestra de las $1000$ se calculo la media, es decir

\overline{X_{5}}=\frac{X_{1}+\cdots+X_{5}}{5}

o bien

\overline{X_{25}}=\frac{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{25}}{25}

El histograma de frecuencias relativas de las medias muestrales obtenidas en las $1000$ repeticiones, para $n=5$ , es

y para $n=25$ ,

Por el TCP sabemos que

\overline{X}\approx N(\mu_{\overline{X}},\sigma^{2}_{\overline{X}})

con $\mu_{\overline{X}}=E(\overline{X})=\mu=10$ y $\sigma^{2}_{\overline{X}}=Var(\overline{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}=\frac{100}{n}$ .

Cual es la distribucion asintotica de $S_{n}=\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ ? Como consecuencia del teorema del limite central,

\frac{S_{n}-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\overset{d}{\to}Z.

En consecuencia, para $n$ suficientemente grande, se puede usar la aproximacion

S_{n}=\sum_{i=1}^{n}X_{i}=X_{1}+\cdots+X_{n}\approx N(n\mu,n\sigma^{2})