41 Convergencia en probabilidad, en LpL^{p} y casi seguro

Dado un espacio probabilistico consideraremos una sucesion de variables aleatorias {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} y otra variable XX definida sobre el mismo espacio. Vamos a definir diferentes formas de que la secuencia {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} pueda converger a la variable XX.

Por el momento definiremos la convergencia en probabilidad, en LpL^{p} y casi seguro.

Definición V.1.

Se dice que la sucesion de variables aleatorias {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} converge en probabilidad a XX si para todo ϵ>0\epsilon>0 se verifica

lı´mn→∞P(|Xn−X|>ϵ)=0\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}P(\left|X_{n}-X% \right|>\epsilon)=0

es decir, si

lı´mn→∞P(ω∈Ω:|Xn(ω)−X(ω)|>ϵ)=0\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}P(\omega\in% \Omega\colon\left|X_{n}(\omega)-X(\omega)\right|>\epsilon)=0

Esto se denota abreviadamente como Xn→𝑃XX_{n}\overset{P}{\to}X.

Ejemplo V.5.

Sea {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} una sucesion de variables aleatorias tales que, para cada n∈ℕn\in\mathbb{N},

P(Xn=1)=n2−1n2 y P(Xn=5)=1n2P(X_{n}=1)=\frac{n^{2}-1}{n^{2}}\text{ y }P(X_{n}=5)=\frac{1}{n^{2}}

Demostrar que

Xn→𝑃1X_{n}\overset{P}{\to}1

Se tiene que P{|Xn−1|>ϵ}≤P{Xn=5}=1n2→n→∞0P\left\{\left|X_{n}-1\right|>\epsilon\right\}\leq P\left\{X_{n}=5\right\}=% \frac{1}{n^{2}}\overset{n\to\infty}{\to}0.

Definición V.2.

Se dice que la sucesion de variables aleatorias {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} converge en media cuadratica a XX si

lı´mn→∞E|Xn−X|2=0\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}E\left|X_{n}-X% \right|^{2}=0

Notese que esto implica que la dispersion de XnX_{n} con respecto al limite XX, se aproxima a 0 al crecer nn. Abreviadamente lo denotaremos Xn→L2XX_{n}\overset{L^{2}}{\to}X.

Ejemplo V.6.

Sea {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} una sucesion de variables aleatorias tales que, para cada n∈ℕn\in\mathbb{N},

P(Xn=0)=n2−1n2 y P(Xn=n2)=1n2P(X_{n}=0)=\frac{n^{2}-1}{n^{2}}\text{ y }P(X_{n}=n^{2})=\frac{1}{n^{2}}

Se verifica en este caso que Xn→𝑃0X_{n}\overset{P}{\to}0? Si: P{|Xn−0|>ϵ}≤P(Xn=n2)=1n2→0P\left\{\left|X_{n}-0\right|>\epsilon\right\}\leq P(X_{n}=n^{2})=\frac{1}{n^{2% }}\to 0.

Se verifica en este caso que Xn→L20X_{n}\overset{L^{2}}{\to}0? E(|Xn−0|2)=E(X2n)=(n2)2⋅1n2=n2→∞E(\left|X_{n}-0\right|^{2})=E(X^{2}_{n})=(n^{2})^{2}\cdot\frac{1}{n^{2}}=n^{2}\to\infty. Por tanto, no se verifica.

La convergencia en media cuadrática es un caso particular de la convergencia en LpL^{p}.

Definición V.3.

Dado p∈ℝ+p\in\mathbb{R}^{+}, se dice que la sucesion de variables aleatorias {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} converge en media cuadratica a XX si

lı´mn→∞E|Xn−X|p=0.\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}E\left|X_{n}-X% \right|^{p}=0\mathchar 46\relax

Abreviadamente lo denotaremos Xn→LpXX_{n}\overset{L^{p}}{\to}X.

Ejemplo V.7.

Sea {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} una sucesion de variables aleatorias tales que, para cada n∈ℕn\in\mathbb{N},

P(Xn=0)=n2−1n2 y P(Xn=n2)=1n2.P(X_{n}=0)=\frac{n^{2}-1}{n^{2}}\text{ y }P(X_{n}=n^{2})=\frac{1}{n^{2}}% \mathchar 46\relax
  1. 1.
    ​

    Se verifica en este caso que Xn→L10X_{n}\overset{L^{1}}{\to}0? E(|Xn−0|)=n2⋅1n2=1≠0E(\left|X_{n}-0\right|)=n^{2}\cdot\frac{1}{n^{2}}=1\neq 0. Por tanto, no converge en L1L^{1}.

  2. 2.
    ​

    Para que valores de p>0p>0 se verifica Xn→Lp0X_{n}\overset{L^{p}}{\to}0? E(|Xn−0|p)=(n2)p⋅1n2=n2p−2E(\left|X_{n}-0\right|^{p})=(n^{2})^{p}\cdot\frac{1}{n^{2}}=n^{2p-2}. Convergerá si 2p−2<0⟹p<12p-2<0\implies p<1.

Definición V.4.

Se dice que la sucesion de variables aleatorias {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} converge casi seguro a XX si

P(Xn→X)=1P(X_{n}\to X)=1

es decir si

P(ω∈Ω:lı´mn→∞Xn(ω)=X(ω))=1P(\omega\in\Omega\colon\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to% \infty}X_{n}(\omega)=X(\omega))=1
Proposición V.1.

Si

Xn→c.s.X,X_{n}\overset{c\mathchar 46\relax s\mathchar 46\relax}{\to}X,

entonces

Xn→𝑃X.X_{n}\overset{P}{\to}X\mathchar 46\relax

Ahora vamos a centrarnos en sucesiones que se definen a partir de variables aleatorias incorrelacionadas entre si, y muy especialmente en variables que son independientes y que siguen la misma distribucion.