41 Convergencia en probabilidad, en LpL^{p} y casi seguro

Dado un espacio probabilistico consideraremos una sucesion de variables aleatorias {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} y otra variable XX definida sobre el mismo espacio. Vamos a definir diferentes formas de que la secuencia {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} pueda converger a la variable XX.

Por el momento definiremos la convergencia en probabilidad, en LpL^{p} y casi seguro.

Definition 41.1.

Se dice que la sucesion de variables aleatorias {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} converge en probabilidad a XX si para todo ϵ>0\epsilon>0 se verifica

limn→∞P⁢(|Xn−X|>ϵ)=0\lim\limits_{n\to\infty}P(\left|X_{n}-X\right|>\epsilon)=0

es decir, si

limn→∞P(ω∈Ω:|Xn(ω)−X(ω)|>ϵ)=0\lim\limits_{n\to\infty}P(\omega\in\Omega\colon\left|X_{n}(\omega)-X(\omega)% \right|>\epsilon)=0

Esto se denota abreviadamente como Xn⁢→𝑃⁢XX_{n}\overset{P}{\to}X.

Example 41.2.

Sea {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} una sucesion de variables aleatorias tales que, para cada n∈ℕn\in\mathbb{N},

P⁢(Xn=1)=n2−1n2⁢ y ⁢P⁢(Xn=5)=1n2P(X_{n}=1)=\frac{n^{2}-1}{n^{2}}\text{ y }P(X_{n}=5)=\frac{1}{n^{2}}

Demostrar que

Xn⁢→𝑃⁢1X_{n}\overset{P}{\to}1

Se tiene que P⁢{|Xn−1|>ϵ}≤P⁢{Xn=5}=1n2⁢→n→∞⁢0P\left\{\left|X_{n}-1\right|>\epsilon\right\}\leq P\left\{X_{n}=5\right\}=% \frac{1}{n^{2}}\overset{n\to\infty}{\to}0.

Definition 41.3.

Se dice que la sucesion de variables aleatorias {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} converge en media cuadratica a XX si

limn→∞E⁢|Xn−X|2=0\lim\limits_{n\to\infty}E\left|X_{n}-X\right|^{2}=0

Notese que esto implica que la dispersion de XnX_{n} con respecto al limite XX, se aproxima a 0 al crecer nn. Abreviadamente lo denotaremos Xn⁢→L2⁢XX_{n}\overset{L^{2}}{\to}X.

Example 41.4.

Sea {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} una sucesion de variables aleatorias tales que, para cada n∈ℕn\in\mathbb{N},

P⁢(Xn=0)=n2−1n2⁢ y ⁢P⁢(Xn=n2)=1n2P(X_{n}=0)=\frac{n^{2}-1}{n^{2}}\text{ y }P(X_{n}=n^{2})=\frac{1}{n^{2}}

Se verifica en este caso que Xn⁢→𝑃⁢0X_{n}\overset{P}{\to}0? Si: P⁢{|Xn−0|>ϵ}≤P⁢(Xn=n2)=1n2→0P\left\{\left|X_{n}-0\right|>\epsilon\right\}\leq P(X_{n}=n^{2})=\frac{1}{n^{2% }}\to 0.

Se verifica en este caso que Xn⁢→L2⁢0X_{n}\overset{L^{2}}{\to}0? E⁢(|Xn−0|2)=E⁢(Xn2)=(n2)2⋅1n2=n2→∞E(\left|X_{n}-0\right|^{2})=E(X^{2}_{n})=(n^{2})^{2}\cdot\frac{1}{n^{2}}=n^{2}\to\infty. Por tanto, no se verifica.

La convergencia en media cuadrática es un caso particular de la convergencia en LpL^{p}.

Definition 41.5.

Dado p∈ℝ+p\in\mathbb{R}^{+}, se dice que la sucesion de variables aleatorias {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} converge en media cuadratica a XX si

limn→∞E⁢|Xn−X|p=0.\lim\limits_{n\to\infty}E\left|X_{n}-X\right|^{p}=0.

Abreviadamente lo denotaremos Xn⁢→Lp⁢XX_{n}\overset{L^{p}}{\to}X.

Example 41.6.

Sea {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} una sucesion de variables aleatorias tales que, para cada n∈ℕn\in\mathbb{N},

P⁢(Xn=0)=n2−1n2⁢ y ⁢P⁢(Xn=n2)=1n2.P(X_{n}=0)=\frac{n^{2}-1}{n^{2}}\text{ y }P(X_{n}=n^{2})=\frac{1}{n^{2}}.
  1. 1.
    ​

    Se verifica en este caso que Xn⁢→L1⁢0X_{n}\overset{L^{1}}{\to}0? E⁢(|Xn−0|)=n2⋅1n2=1≠0E(\left|X_{n}-0\right|)=n^{2}\cdot\frac{1}{n^{2}}=1\neq 0. Por tanto, no converge en L1L^{1}.

  2. 2.
    ​

    Para que valores de p>0p>0 se verifica Xn⁢→Lp⁢0X_{n}\overset{L^{p}}{\to}0? E⁢(|Xn−0|p)=(n2)p⋅1n2=n2⁢p−2E(\left|X_{n}-0\right|^{p})=(n^{2})^{p}\cdot\frac{1}{n^{2}}=n^{2p-2}. Convergerá si 2⁢p−2<0⟹p<12p-2<0\implies p<1.

Definition 41.7.

Se dice que la sucesion de variables aleatorias {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} converge casi seguro a XX si

P⁢(Xn→X)=1P(X_{n}\to X)=1

es decir si

P(ω∈Ω:limn→∞Xn(ω)=X(ω))=1P(\omega\in\Omega\colon\lim\limits_{n\to\infty}X_{n}(\omega)=X(\omega))=1
Proposition 41.8.

Si

Xn⁢→c.s.⁢X,X_{n}\overset{c.s.}{\to}X,

entonces

Xn⁢→𝑃⁢X.X_{n}\overset{P}{\to}X.

Ahora vamos a centrarnos en sucesiones que se definen a partir de variables aleatorias incorrelacionadas entre si, y muy especialmente en variables que son independientes y que siguen la misma distribucion.