46 Aproximacion de la binomial por la distribucion normal

Ejemplo V.17.

La proporcion de piezas defectuosas que fabrica cierta maquina es del 40%40\%{}. Si se seleccionan al azar 500500 piezas, cual es la probabilidad de que el numero de defectuosas este entre 197197 y 205205?

Teorema V.2 (de Moivre-Laplace).

Si Hn∼Bin(n,p)H_{n}\sim Bin(n,p), entonces asintoticamente se verifica que

Hn≈N(μ=np,σ2=npq)H_{n}\approx N(\mu=np,\sigma^{2}=npq)
Demostración.

Sean Xi∼i.i.d.Bin(1,p)X_{i}\overset{i\mathchar 46\relax i\mathchar 46\relax d\mathchar 46\relax}{% \sim}Bin(1,p) y Hn=X1+⋯+XnH_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}. Sabemos que

E(Xi)=p,V(Xi)=pqE(X_{i})=p,\quad V(X_{i})=pq

y por tanto E(Hn)=npE(H_{n})=np, V(Hn)=npqV(H_{n})=npq.

Aplicando el teorema del limite central,

Hn≈N(μ=np,σ2=npq)H_{n}\approx N(\mu=np,\sigma^{2}=npq)

∎

Este resultado nos permite calcular probabilidades aproximadas sobre binomiales con nn grande de manera mas comoda.

En general, suele considerarse que esta aproximacion es buena si se cumple np≥5np\geq 5 y nq≥5nq\geq 5.

(correccion por continuidad no entra).

fm hola