42 Combinaciones lineales de variables aleatorias

Proposition 42.1.

Consideremos combinaciones lineales de dos variables aleatorias. Sean X1X_{1}, X2X_{2} variables aleatorias y a1,a2,b∈ℝa_{1},a_{2},b\in\mathbb{R} constantes. Entonces se verifica que

E⁢(a1⁢X1+a2⁢X2+b)\displaystyle E(a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+b)
=a1⁢E⁢(X1)+a2⁢E⁢(X2)+b\displaystyle{}=a_{1}E(X_{1})+a_{2}E(X_{2})+b
V⁢(a1⁢X1+a2⁢X2+b)\displaystyle V(a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+b)
=a12⁢V⁢(X1)+a22⁢V⁢(X2)+2⁢a1⁢a2⁢C⁢o⁢v⁢(X1,X2)\displaystyle{}=a^{2}_{1}V(X_{1})+a^{2}_{2}V(X_{2})+2a_{1}a_{2}Cov(X_{1},X_{2})
Proof 42.2.
E⁢(a1⁢X1+a2⁢X2+b)=∑x1∈SX1∑x2∈SX2(a1⁢x1+a2⁢x2+b)⋅P⁢(X1=x1,X2=x2)=….\displaystyle E(a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+b)=\sum_{x_{1}\in S_{X_{1}}}\sum_{x_{2}% \in S_{X_{2}}}(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b)\cdot P(X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2})=....

Cuando las variables X1X_{1} y X2X_{2} son incorrelacionadas:

E⁢(X1+X2)\displaystyle E(X_{1}+X_{2})
=E⁢(X1)+E⁢(X2)\displaystyle{}=E(X_{1})+E(X_{2})
V⁢(X1+X2)\displaystyle V(X_{1}+X_{2})
=V⁢(X1)+V⁢(X2)\displaystyle{}=V(X_{1})+V(X_{2})
E⁢(X1−X2)\displaystyle E(X_{1}-X_{2})
=E⁢(X1)+E⁢(X2)\displaystyle{}=E(X_{1})+E(X_{2})
V⁢(X1−X2)\displaystyle V(X_{1}-X_{2})
=V⁢(X1)+V⁢(X2)\displaystyle{}=V(X_{1})+V(X_{2})
E⁢(X1+X22)=E⁢(X1)+E⁢(X2)2\displaystyle E\left(\frac{X_{1}+X_{2}}{2}\right)=\frac{E(X_{1})+E(X_{2})}{2}
V⁢(X1+X22)=V⁢(X1)+V⁢(X2)4\displaystyle V\left(\frac{X_{1}+X_{2}}{2}\right)=\frac{V(X_{1})+V(X_{2})}{4}

Como las variables independientes siempre estan incorrelaciondas, esto tambien se cumple para variables independientes.

Cuando, además de ser independientes, tienen la misma esperanza μ\mu y varianza σ2\sigma^{2},

E⁢(X1+X2)\displaystyle E(X_{1}+X_{2})
=2⁢μ\displaystyle{}=2\mu
V⁢(X1+X2)\displaystyle V(X_{1}+X_{2})
=2⁢σ2\displaystyle{}=2\sigma^{2}
E⁢(X1+X22)=μ\displaystyle E\left(\frac{X_{1}+X_{2}}{2}\right)=\mu
V⁢(X1+X22)=σ22\displaystyle V\left(\frac{X_{1}+X_{2}}{2}\right)=\frac{\sigma^{2}}{2}

Esta situacion se da cucando las variables XX e YY son realizaciones independientes de una distribucion comun, i.e., cuando son variables independientes e identicamente distribuidas. Esto se denota como X,YX,Y i.i.d.

Proposition 42.3.

Si X1,…,XnX_{1},\ldots,X_{n} son v. al. independientes e identicamente distribuidas con esperanza μ\mu y varianza σ2\sigma^{2},

  1. 1.
    ​

    La suma de las nn variables aleatorias cumple

    E⁢(X1+⋯+Xn)\displaystyle E(X_{1}+\cdots+X_{n})
    =μ+⋯+μ=n⁢μ\displaystyle{}=\mu+\cdots+\mu=n\mu
    V⁢(X1+⋯+Xn)\displaystyle V(X_{1}+\cdots+X_{n})
    =σ2+⋯+σ2=n⁢σ2\displaystyle{}=\sigma^{2}+\cdots+\sigma^{2}=n\sigma^{2}
  2. 2.
    ​

    El promedio de las nn variables aleatorias verifica

    E⁢(Xn¯)\displaystyle E(\overline{X_{n}})
    =μ+⋯+μn=n⁢μn=μ\displaystyle{}=\frac{\mu+\cdots+\mu}{n}=\frac{n\mu}{n}=\mu
    V⁢(Xn¯)\displaystyle V(\overline{X_{n}})
    =σ2+⋯+σ2n2=n⁢σ2n2=σ2n\displaystyle{}=\frac{\sigma^{2}+\cdots+\sigma^{2}}{n^{2}}=\frac{n\sigma^{2}}{% n^{2}}=\frac{\sigma^{2}}{n}
Remark 42.4.

Esto tambien se cumple cuando las variables son incorrelacionadas. Ademas, tampoco es necesario que las variables sean identicamente distribuidas, sino que basta con que todas tengan la misma esperanza y misma varianza.

La desviacion tipica de la media muestral se denomina error estandar y viene dada por

σX¯=σn\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

A medida que aumenta el tamaño de la muestra, el error estandar disminuye. Es decir, cuanto mayor sea el tamaño muestral, más concentrada estará la probabilidad de X¯\overline{X} en torno a μ\mu.

Los teoremas del límite central nos dirán mucho más.