43 Leyes de los grandes números

Ejemplo V.8.

Consideremos una coleccion {Xi}i∈ℕ\left\{X_{i}\right\}_{i\in\mathbb{N}} de variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas con distribucion comun

Xi∼Exp(0,5)X_{i}\sim Exp(0{,}5)
  1. 1.
    ​

    ¿Cuales son la esperanza y la varianza de Xn¯=∑ni=1Xin\overline{X_{n}}=\frac{\sum^{n}_{i=1}X_{i}}{n}? E(Xi)=2,V(Xi)=4⟹E(Xn¯)=2,V(Xn¯)=4nE(X_{i})=2,V(X_{i})=4\implies E(\overline{X_{n}})=2,V(\overline{X_{n}})=\frac{% 4}{n}.

  2. 2.
    ​

    ¿Que ocurre con la varianza de Xn¯\overline{X_{n}} cuando nn tiende a infinito? Tiende a 0.

  3. 3.
    ​

    Intuitivamente, ¿que sucedera con la distribucion de probabilidad de {Xn}\left\{X_{n}\right\} cuando nn tiende a infinito? La distribucion convergera en probabilidad a 2, puesto que la varianza desaparece en el infinito.

Las leyes de los grandes numeros nos indican que ocurre con la distribucion limite de {Xn}\left\{X_{n}\right\} en este tipo de situaciones.

Proposición V.4 (Ley debil de los grandes numeros de Khintchin).

Sea {Xi}i∈ℕ\left\{X_{i}\right\}_{i\in\mathbb{N}} una sucesion de variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas (i.i.d.) con

E(Xi)=μ, y V(Xi)=σ2<∞E(X_{i})=\mu,\text{ y }V(X_{i})=\sigma^{2}<\infty

Consideremos la sucesion de promedios Xn¯\overline{X_{n}}. Entonces,

Xn¯→𝑃μ.\overline{X_{n}}\overset{P}{\to}\mu\mathchar 46\relax
Demostración.

Ver. ∎

Ejemplo V.9.

Consideremos una sucesion {Xi}i∈ℕ\left\{X_{i}\right\}_{i\in\mathbb{N}} de variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas con distribucion comun

Xi∼Exp(0,5)X_{i}\sim Exp(0{,}5)

Comprobar que Xn¯→𝑃2\overline{X_{n}}\overset{P}{\to}2.

Como E(Xi)=2E(X_{i})=2 y V(Xi)=4<∞V(X_{i})=4<\infty, por la Ley Debil de los Grandes Numeros Xn¯→𝑃2\overline{X_{n}}\overset{P}{\to}2.

Este resultado fue mejorado posteriormente por Andréi Kolmogórov con su ley fuerte de los grandes números.

Proposición V.5.

Sea {Xi}i∈ℕ\left\{X_{i}\right\}_{i\in\mathbb{N}} una sucesion de variables aleatorias i.i.d. con

E(Xi)=μ,V(Xi)=σ2<∞.E(X_{i})=\mu,\quad V(X_{i})=\sigma^{2}<\infty\mathchar 46\relax

Entonces

Xn¯→c.s.μ\overline{X_{n}}\overset{c\mathchar 46\relax s\mathchar 46\relax}{\to}\mu
Ejemplo V.10.

Consideremos una secuencia {Xi}i∈ℕ\left\{X_{i}\right\}_{i\in\mathbb{N}} de variables aleatorias i.i.d. con distribucion comun

Xi∼Ge(0,2)X_{i}\sim Ge(0{,}2)

Comprobar que Xn¯→c.s.5\overline{X_{n}}\overset{c\mathchar 46\relax s\mathchar 46\relax}{\to}5.

Como E(Xi)=5E(X_{i})=5 y V(Xi)=20<∞V(X_{i})=20<\infty, por la Ley Fuerte de Kolmogorov Xn¯→c.s.5\overline{X_{n}}\overset{c\mathchar 46\relax s\mathchar 46\relax}{\to}5.

Proposición V.6.

Sea X1,X2,…X_{1},X_{2},\ldots una sucesion de variables aleatorias incorrelacionadas con

E(Xi)=μi y V(Xi)=σ2i<∞E(X_{i})=\mu_{i}\text{ y }V(X_{i})=\sigma^{2}_{i}<\infty

Consideremos la sucesion de promedios Xn¯\overline{X_{n}} y sea μ¯=E(Xn¯)=∑i=1nμin\overline{\mu}=E(\overline{X_{n}})=\frac{\sum_{i=1}^{n}\mu_{i}}{n}. Entonces

Xn¯−μn¯→𝑃0.\overline{X_{n}}-\overline{\mu_{n}}\overset{P}{\to}0\mathchar 46\relax