45 Ejemplos de aplicacion del TCL

Se ha comprobado que el peso medio de los perrores de la raza pitbull de cierta region es de $25Kg$, con una desviacion tipica de $20Kg$.

Se selecciona al azar una muestra de $100$ pitbulls de esta comarca.

Calcular, de forma aproximada, la probabilidad de que el promedio de los pesos de esta muestra sea inferior a $20Kg$.

Disponemos de una m.a.s. de pesos de los pitbulls, es decir, de una coleccion de variables i.i.d.,

con $E(P_{i})=25$ y $V(P_{i})=20^{2}=400$, pero con distribucion desconocida.

Tenemos que calcular una probabilidad sobre la variable aleatoria

Aunque la distribucion de las $P_{i}$ es desconocida, como disponemos de una muestra grande el Teorema Central del Limite garantiza que la dstribucion de $\overline{P}$ es aproximadamente normal, con media la misma que la de pesos de cada pitbull, es decir,

y con varianza

Es decir que

Por tanto, la probabilidad de que el promedio de los pesos de esta muestra de tamaño 100 sea inferior a $20$ kg es, aproximadamente,

Tras efectuar un amplio estudio sobre los turistas franceses e ingleses que pasan sus vacaciones en la Comunidad de Madrid, se ha comprobado que el gasto medio en alimentación de los franceses es de 21 euros por persona y día, con una varianza de 36 euros, mientras que para los ingleses el gasto medio es de de 18 euros persona y día, con una desviación típica de 3 euros.

Se ha realizado una encuesta a $300$ turistas franceses y a $200$ ingleses. Suponiendo que cada grupo de turistas encuestados es una seleccion de variables i.i.d. y que los gastos en ambos grupos son independientse:

1. 1.
   ​

   Calcular la probabilidad de que el gasto total de la muestra de los franceses supere los $7000$ euros.

   Disponemos de una m.a.s. de gastos de los turistas franceses, es decir, de una coleccion de variables i.i.d.,

   $$F_{1},F_{2},\ldots,F_{300}$$

   con $E(F_{i})=21$ y $V(F_{i})=36$, pero con distribucion desconocida. Tenemos que calcular una probabilidad sobre la variable aleatoria gastos totales,

   $$T=F_{1}+F_{2}+\cdots+F_{300}$$

   Aunque la distribucion de las $F_{i}$ es desconocida, como disponemos de una muestra grande, el teorema central del limite garantiza que la distribucion de su suma es aproximadamente normal, con esperanza la suma de las medias, es decir,

   $$E(T)=\sum_{i=1}^{300}E(F_{i})=300\cdot 21=6300\text{ euros}$$

   y, por tratarse de variables independientes, con varianza,

   $$V(T)=\sum_{i=1}^{300}V(F_{i})=300\cdot 36=10800\text{ euros}^{2}$$

   es decir $T\approx N(\mu=6300,\sigma^{2}=10800)$.

   Por tanto la probabilidad de que el total de los gastos de esta muestra de tamaño $300$ supere los $7000$ euros es, aproximadamente,

   $$P(T>7000)=P(\frac{T-6300}{\sqrt{10800}}>\frac{7000-6300}{\sqrt{10800}})=P(Z>6.7357)=1-\Phi(6.7357)\simeq 0.$$
2. 2.
   ​

   Como es de probable que los gastos medios diarios en alimentacion de los turistas franceses no superen a los gastos medios de los ingleses en mas de $2.5$ euros?

   En este caso se nos pregunta una probabilidad que se refiere al gasto medio de franceses e ingleses, es decir, a los promedios de los gastos de las muestras $\overline{F}$ y $\overline{I}$, respectivamente, donde

   $$I_{1},\ldots,I_{200}$$

   es la muestra de los gastos de los turistas ingleses para la cual verifica

   $$E(I_{i})=18\text{ euros}$$

   y

   $$V(I_{i})=3^{2}=9\text{ euros}^{2}$$

   Por el TCL se tiene que, por ser ambos tamaños grandes,

   $$\overline{F}\simeq N(\mu=21,\sigma^{2}=\frac{36}{300})$$

   e

   $$\overline{I}\simeq N(\mu=18,\sigma^{2}=\frac{9}{200})$$

   Tenemos que calcular la probabilidad de que la diferencia entre los gastos medios diarios en alimentacion de los turistas franceses y los ingleses de las muestras sea inferior a $2.5$ euros, es decir, $P(\overline{F}-\overline{I}<2.5)$.

   La distribucion aproximada de la diferencia de estos promedios es

   $$\overline{F}-\overline{I}\approx N(\mu=21-18,\sigma^{2}=36/300+9/200)=N(3,0.165)$$

   Por tanto,

   $$P(\overline{F}-\overline{I}<2.5)=P\left(\frac{\overline{F}-\overline{I}-3}{\sqrt{0.165}}<\frac{2.5-3}{\sqrt{0.165}}\right)\simeq P(Z<-1.231)$$

   es decir,

   $$P(\overline{F}-\overline{I}<2.5)\simeq 1-\Phi(1.231)=0.1092$$

Consideremos una coleccion $\left\{X_{i}\right\}_{i\in\mathbb{N}}$ de variables aleatorias e identicamente distribuidas con distribucion comun $X_{i}\sim Exp(0.5)$. Determinar la distribucion aproximada de $S_{n}$ y de $\overline{X_{n}}$ para $n$ grande.

Tenemos que $E(X_{i})=\frac{1}{0.5}=2$ y $V(X_{i})=\frac{1}{0.5^{2}}=4$. Por tanto, $E(S_{n})=2n$ y $V(S_{n})=4n$. Luego