40 Sucesiones de variables aleatorias

En este tema vamos a analizar secuencias infinitas numerables de variables aleatorias. Dado un espacio probabilistico (Ω,𝒜︁,P)(\Omega,\mathscr{A},P), consideraremos una sucesion de variables aleatorias, {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}. En especial, nos plantearemos que ocurre con las probabilidades sobre XnX_{n} cuando nn se hace grande, es decir, que es lo que pasa en el limite.

Ejemplo V.1.

Sea {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} una sucesion de variables aleatorias tales que para cada n∈ℕn\in\mathbb{N},

P(Xn=1)=n2−1n2 y P(Xn=5)=1n2P(X_{n}=1)=\frac{n^{2}-1}{n^{2}}\text{ y }P(X_{n}=5)=\frac{1}{n^{2}}

La sucesion {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} converge a

P(X∞=1)=1P(X∞=5)=0P(X_{\infty}=1)=1\quad P(X_{\infty}=5)=0
Ejemplo V.2.

Sea {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} una sucesion de variables aleatorias tales que, para cada n∈ℕn\in\mathbb{N},

P(Xn=0)=n2−1n2 y P(Xn=n2)=1n2P(X_{n}=0)=\frac{n^{2}-1}{n^{2}}\text{ y }P(X_{n}=n^{2})=\frac{1}{n^{2}}

La sucesion {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} converge a

P(X∞=0)=1P(X_{\infty}=0)=1
Ejemplo V.3.

Sea {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} una sucesión de variables aleatorias tales que, para cada n∈ℕn\in\mathbb{N},

Xn∼Exp(n).X_{n}\sim Exp(n)\mathchar 46\relax

A donde converge la sucesion {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}?

P(Xn≤t)={0t<01−e−ntt>0→n→∞F(t)={0t<01t>0P(X_{n}\leq t)=\begin{cases}0\quad&t<0\\ 1-e^{-nt}&t>0\end{cases}\overset{n\to\infty}{\to}F(t)=\begin{cases}0\quad&t<0% \\ 1&t>0\end{cases}
Ejemplo V.4.

Sea {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}} una sucesion de variables aleatorias tales que, para cada n∈ℕn\in\mathbb{N},

Xn∼Exp(n)X_{n}\sim Exp(n)

Nos planteamos a donde converge la sucesion {Xn}n∈ℕ\left\{X_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}.