16 Teorema de la probabilidad total

El teorema de la probabilidad total permite calcular la probabilidad de un suceso en situaciones en las cuales es sencillo calcular las probabilidades de dicho suceso condicionadas a la ocurrencia de otros eventos. Eeste resultado se corresponde con experimentos que se realizan en dos etapas:

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En la primera etapa pueden ocurrir $n$ posibles sucesos,

$A_{1},A_{2},\ldots,A_{n},$

que constituyen una partición de $\Omega$ . Las probabilidades a priori

$P(A_{1}),P(A_{2}),\ldots,P(A_{n})$

deben ser conocidas.
•

En la segunda etapa las probabilidades de los resultados posibles dependen de lo que haya ocurrido en la primera etapa.

Example 16.1.

En cierto pais, el $40\%$ de la poblacion esta formada por mujeres. Se sabe que el $15\%$ de los hombres y el $28\%$ de las mujeres esta en paro.

Si se selecciona al azar a una persona de la poblacion activa, cual es la probabilidad de que dicha persona este desempleada?

Consideremos los sucesos $D=$ la persona seleccionada esta desempleada, $M=$ la persona seleccionada es una mujer, $H=$ la persona seleccionada es un hombre $=M^{c}$ . El enunciado nos indica que $P(M)=0.4$ , $P(D\mid M)=0.28$ , $P(D\mid H)=0.15$ .

Puesto que $H=M^{c}$ , se tiene que $M\cup H=\Omega$ y $M\cap H=\varnothing$ . Por consiguiente

{}P(D)=P(D\cap\Omega)=P(D\cap(M\cup H))=P((D\cap M)\cup(D\cap H))=P(D\cap M)+P% (D\cap H)=\\ {}=P(M)P(D\mid M)+P(H)P(D\mid H)=0.4\cdot 0.28+0.6\cdot 0.15=0.202

En el ejemplo anterior se conocen las probabilidades del sucoso de interes $D$ condicionadas a dos sucesos disjuntos cuya union es el total $(M,H)$ . En otros casos puede ocurrir que sean tres o mas los sucesos disjuntos a considerar.

En general consideraremos las probabilidades del evento de interes condicionadas a $k$ sucesos incompatibles, $A_{1},A_{2},\ldots,A_{k}\subset\Omega$ , cuya union sea el espacio muestral, es decir, que verifiquen:

A_{1}\cup A_{2}\cup\cdots\cup A_{k}=\Omega\text{ (los sucesos son un sistema % exhaustivo)}

A_{i}\cap A_{j}=\varnothing\text{ para }i\neq j\text{ (los sucesos son % mutuamente excluyentes)}

Los sistemas exhaustivos de sucesos mutuamente excluyentes reciben tambien el nombre de particiones del espacio muestral $\Omega$ .

Theorem 16.2 (de la probabilidad total).

Sean $(\Omega,\mathscr{A},P)$ un espacio probabilistico, y $A_{1},\ldots,A_{k}$ una particion de $\Omega$ . Entonces, para cualquier suceso aleatorio $B\subset\Omega$ se verifica

\displaystyle P(B)

\displaystyle{}=\sum_{i=1}^{k}P(A_{i})P(B\mid A_{i})=

\displaystyle{}=P(A_{1})P(B\mid A_{1})+\cdots+P(A_{k})P(B\mid A_{k})

Proof 16.3.

\displaystyle P(B)

\displaystyle{}=P(B\cap A)=P(B\cap(A_{1}\cup A_{2}\cup\cdots\cup A_{k}))=P((B% \cap A_{1})\cup\cdots\cup(B\cap A_{k}))=

\displaystyle{}=P(B\cap A_{1})+\cdots+P(B\cap A_{k})=P(A_{1})\cdot P(B\mid A_{% 1})+\cdots+P(A_{k})P(B\mid A_{k})

Example 16.4.

En un zoologico hay seis jaulas con simios: tres jaulas grandes, dos jaulas medianas y una pequeña.

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Las jaulas grandes tienen todas el mismo numero de orangutanes y de gorilas.
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En cada una de las jaulas medianas hay el doble de orangutanes que de gorilas.
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En la jaula pequeña solo hay orangutanes.

Una persona ajena al zoo debe elegir a uno de los simios para un anuncio de television. Como no tiene ningun conocimiento sobre simios, elige al azar una de las seis jaulas y dentro de ella escoge, tambien de manera aleatoria, uno de los simios.

Hallar la probabilidad de que el animal elegido para el anuncio sea un orangutan.

Sean los sucesos $G=$ la jaula seleccionada es grande, $M=$ la jaula seleccionada es mediana, $P=$ la jaula seleccionada es pequeña, y $O=$ el simio seleccionado para el anuncio es un orangutan.

Tenemos que calcular $P(O)$ . El enunciado nos indica que $P(G)=\frac{3}{6}$ , $P(M)=\frac{2}{6}$ , $P(P)=\frac{1}{6}$ y tambien $P(O\mid G)=\frac{1}{2}$ , $P(O\mid M)=\frac{2}{3}$ , $P(O\mid P)=1$ . Aplicando el teorema de la probabilidad total obtenemos que

\displaystyle P(O)=P(G)P(O\mid G)+P(M)P(O\mid M)+P(P)P(O\mid P)=\frac{3}{6}% \frac{1}{2}+\frac{2}{6}\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{23}{36}

Example 16.5.

Se dispone de dos urnas: la urna $U_{1}$ con $30$ bolas negras y $30$ rojas y la urna $U_{2}$ con $3$ bolas negras y $1$ roja.

Se tira una moneda equilibrada. En caso de que salga cara se elegira una bola de la primera urna, y si sale cruz la segunda. Cual es la probabilidad de que la bola seleccionada sea negra?

P(\text{bola negra})=P(U_{1})P(N\mid U_{1})+P(U_{2})P(N\mid U_{2})=\frac{5}{8}% =0.625

(hacer arbol).