15 Independencia de sucesos

De forma intuitiva, dos sucesos aleatorios son independientes cuando la aparición de uno de ellos no modifica la probabilidad de que ocurra el otro.

Definición II.3.

Dado un espacio probabilistico $(\Omega,\mathscr{A},P)$ se dice que los sucesos aleatorios $A,B\in\mathscr{A}$ son estocásticamente independientes si se verifica

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

Proposición II.1.

Si $P(A)>0$ , entonces la condición de independencia de los sucesos $A$ y $B$ es equivalente a que se verifique

P(B\mid A)=P(B)

Demostración.

Si $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ , entonces $P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{P(A)\cdot P(B)}{P(A)}=P(B)$ .

Si $P(B\mid A)=P(B)$ , entonces $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)=P(A)\cdot P(B)$ . ∎

Ejemplo II.10.

Supongamos que la probabilidad de que cada descendiente de una pareja sea niño es igual a la de que sea niña. Sean los sucesos:

$A=$ como mucho un hijo varon.
$B=$ hay descendientes de ambos sexos.

Si una pareja tiene dos descendientes, son independientes los sucesos $A$ y $B$ ? Responder a la misma pregunta para una pareja con tres descendientes.

Se tiene que $\Omega=\left\{vv,vm,mv,mm\right\}$ , por lo que $P(A)=\frac{3}{4}$ , $P(B)=\frac{1}{2}$ y $P(A\cap B)=\frac{1}{2}\neq\frac{1}{2}\frac{3}{4}=P(A)\cdot P(B)\Rightarrow$ $A$ y $B$ no son independientes.

Si hay tres descendientes, $\Omega=\left\{vvv,vvm,vmv,mvv,vmm,mvm,mmv,mmm\right\}$ , luego $P(A)=\frac{1}{2}$ , $P(B)=\frac{3}{4}$ y $P(A\cap B)=\frac{3}{8}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}=P(A)\cdot P(B)\Rightarrow A,B$ son independientes.

Proposición II.2.

Sean un espacio probabilistico $(\Omega,\mathscr{A},P)$ y dos sucesos, $A,B\in\mathscr{A}$ independientes. Entonces $A$ y $B^{c}$ tambien son independientes

Demostración.

{}P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B^{c})\Rightarrow P(A\cap B^{c})=P(A)-P(A\cap B)=P(A% )-P(A)P(B)=\\ {}=P(A)(1-P(B))=P(A)P(B^{c})

∎

Definición II.4.

Dado $(\Omega,\mathscr{A},P)$ , se dice que tres sucesos $A_{1},A_{2},A_{3}\in\mathscr{A}$ son independientes si se verifica

\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2})

\displaystyle{}=P(A_{1})P(A_{2})

\displaystyle P(A_{1}\cap A_{3})

\displaystyle{}=P(A_{1})P(A_{3})

\displaystyle P(A_{2}\cap A_{3})

\displaystyle{}=P(A_{2})P(A_{3})

P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})=P(A_{1})P(A_{2})P(A_{3})

Ejemplo II.11.

Se lanza una moneda dos veces, y se consideran los siguientes sucesos:

$A=$ una sola cara en ambas tiradas
$B=$ cara en la primera tirada
$C=$ cara en la segunda tirada

Son independientes los sucesos $A,B$ y $C$ ?

Se tiene $\Omega=\left\{cc,cx,xc,xx\right\}$ y por tanto

P(A)=\frac{1}{2},\quad P(B)=\frac{1}{2},\quad P(C)=\frac{1}{2}

Asi,

\displaystyle P(A\cap B)

\displaystyle{}=\frac{1}{4}=P(A)\cdot P(B)

\displaystyle P(A\cap C)

\displaystyle{}=\frac{1}{4}=P(A)\cdot P(C)

\displaystyle P(B\cap C)

\displaystyle{}=\frac{1}{4}=P(A)\cdot P(C)

pero

P(A\cap B\cap C)=P(\varnothing)=0\neq P(A)P(B)P(C)

Luego no son independientes.

La idea de independencia se puede generalizar a cualquier numero de sucesos.

Definición II.5.

Dado un espacio probabilistico se dice que los sucesos $A_{1},\ldots,A_{n}\in\mathscr{A}$ son independientes si $\forall k\in\left\{1,2,\ldots,n\right\}$ , $\forall 1|\leq i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{k}\leq n$ , se verifica

P(A_{i_{1}}\cap\cdots\cap A_{i_{k}})=P(A_{i_{1}})\cdots P(A_{i_{k}})

Ejemplo II.12.

Un vivero produce un gran numero de ficus, de los cuales el $65\%{}$ estan perfectamente sanos y el resto presenta alguna enfermedad. Un ayuntamiento compra $7$ ficus a este vivero para reforestar una zona situada en su distrito municipal.

1.

Cual es la probabilidad de que al menos uno de ellos sufra alguna enfermedad?

$P(E\geq 1)=1-P(E=0)=1-0{,}65^{7}$
2.

Cual es la probabilidad de que tres de los ficus adquiridos sufran alguna enfermedad y el resto esten sanos?

$P(E=3)=\binom{7}{3}\cdot 0{,}35^{3}\cdot 0{,}65^{4}$

Ejemplo II.13.

Cierto monarca consigue matar al $27\%{}$ de los elefantes a los que dispara. En una caceria en Botswana dicho monarca ha disparado a $5$ elefantes.

1.

Calcular la probabilidad de que alguno de los elefantes haya muerto.

$M=$ n elefantes muertos.

$P(M\geq 1)=1-P(M=0)=1-0{,}73^{5}=0{,}7927$
2.

Se ha sabido que al menos uno de los paquidermos murio en la caceria. Cual es la probabilidad de que solo un elefante perdiese la vida en el safari?

$P(M=1\mid M\geq 1)=\frac{P(M=1)}{P(M\geq 1)}=\frac{5\cdot 0{,}27\cdot 0{,}73^{% 4}}{0{,}7927}=0{,}4836$