15 Independencia de sucesos ‣ Part II Cálculo de probabilidades ‣ Probabilidad

Definition 15.1.

Dado un espacio probabilistico $(\Omega,\mathscr{A},P)$ se dice que los sucesos aleatorios $A,B\in\mathscr{A}$ son estocásticamente independientes si se verifica

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

Proposition 15.2.

Si $P(A)>0$ , entonces la condición de independencia de los sucesos $A$ y $B$ es equivalente a que se verifique

P(B\mid A)=P(B)

Proof 15.3.

Si $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ , entonces $P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{P(A)\cdot P(B)}{P(A)}=P(B)$ .

Si $P(B\mid A)=P(B)$ , entonces $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)=P(A)\cdot P(B)$ .

Example 15.4.

Supongamos que la probabilidad de que cada descendiente de una pareja sea niño es igual a la de que sea niña. Sean los sucesos:

•

$A=$ como mucho un hijo varon.
•

$B=$ hay descendientes de ambos sexos.

Si una pareja tiene dos descendientes, son independientes los sucesos $A$ y $B$ ? Responder a la misma pregunta para una pareja con tres descendientes.

Se tiene que $\Omega=\left\{vv,vm,mv,mm\right\}$ , por lo que $P(A)=\frac{3}{4}$ , $P(B)=\frac{1}{2}$ y $P(A\cap B)=\frac{1}{2}\neq\frac{1}{2}\frac{3}{4}=P(A)\cdot P(B)\Rightarrow$ $A$ y $B$ no son independientes.

Si hay tres descendientes, $\Omega=\left\{vvv,vvm,vmv,mvv,vmm,mvm,mmv,mmm\right\}$ , luego $P(A)=\frac{1}{2}$ , $P(B)=\frac{3}{4}$ y $P(A\cap B)=\frac{3}{8}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}=P(A)\cdot P(B)\Rightarrow A,B$ son independientes.

Proposition 15.5.

Sean un espacio probabilistico $(\Omega,\mathscr{A},P)$ y dos sucesos, $A,B\in\mathscr{A}$ independientes. Entonces $A$ y $B^{c}$ tambien son independientes

Proof 15.6.

{}P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B^{c})\Rightarrow P(A\cap B^{c})=P(A)-P(A\cap B)=P(A% )-P(A)P(B)=\\ {}=P(A)(1-P(B))=P(A)P(B^{c})

Definition 15.7.

Dado $(\Omega,\mathscr{A},P)$ , se dice que tres sucesos $A_{1},A_{2},A_{3}\in\mathscr{A}$ son independientes si se verifica

\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2})

\displaystyle{}=P(A_{1})P(A_{2})

\displaystyle P(A_{1}\cap A_{3})

\displaystyle{}=P(A_{1})P(A_{3})

\displaystyle P(A_{2}\cap A_{3})

\displaystyle{}=P(A_{2})P(A_{3})

y

P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})=P(A_{1})P(A_{2})P(A_{3})

Example 15.8.

Se lanza una moneda dos veces, y se consideran los siguientes sucesos:

•

$A=$ una sola cara en ambas tiradas
•

$B=$ cara en la primera tirada
•

$C=$ cara en la segunda tirada

Son independientes los sucesos $A,B$ y $C$ ?

Se tiene $\Omega=\left\{cc,cx,xc,xx\right\}$ y por tanto

P(A)=\frac{1}{2},\quad P(B)=\frac{1}{2},\quad P(C)=\frac{1}{2}

Asi,

\displaystyle P(A\cap B)

\displaystyle{}=\frac{1}{4}=P(A)\cdot P(B)

\displaystyle P(A\cap C)

\displaystyle{}=\frac{1}{4}=P(A)\cdot P(C)

\displaystyle P(B\cap C)

\displaystyle{}=\frac{1}{4}=P(A)\cdot P(C)

pero

P(A\cap B\cap C)=P(\varnothing)=0\neq P(A)P(B)P(C)

Luego no son independientes.

Definition 15.9.

Dado un espacio probabilistico se dice que los sucesos $A_{1},\ldots,A_{n}\in\mathscr{A}$ son independientes si $\forall k\in\left\{1,2,\ldots,n\right\}$ , $\forall 1|\leq i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{k}\leq n$ , se verifica

P(A_{i_{1}}\cap\cdots\cap A_{i_{k}})=P(A_{i_{1}})\cdots P(A_{i_{k}})

Example 15.10.

Un vivero produce un gran numero de ficus, de los cuales el $65\%$ estan perfectamente sanos y el resto presenta alguna enfermedad. Un ayuntamiento compra $7$ ficus a este vivero para reforestar una zona situada en su distrito municipal.

1.

Cual es la probabilidad de que al menos uno de ellos sufra alguna enfermedad?

$P(E\geq 1)=1-P(E=0)=1-0.65^{7}$
2.

Cual es la probabilidad de que tres de los ficus adquiridos sufran alguna enfermedad y el resto esten sanos?

$P(E=3)=\binom{7}{3}\cdot 0.35^{3}\cdot 0.65^{4}$

Example 15.11.

Cierto monarca consigue matar al $27\%$ de los elefantes a los que dispara. En una caceria en Botswana dicho monarca ha disparado a $5$ elefantes.

1.

Calcular la probabilidad de que alguno de los elefantes haya muerto.

$M=$ n elefantes muertos.

$P(M\geq 1)=1-P(M=0)=1-0.73^{5}=0.7927$
2.

Se ha sabido que al menos uno de los paquidermos murio en la caceria. Cual es la probabilidad de que solo un elefante perdiese la vida en el safari?

$P(M=1\mid M\geq 1)=\frac{P(M=1)}{P(M\geq 1)}=\frac{5\cdot 0.27\cdot 0.73^{4}}{% 0.7927}=0.4836$