20 Problemas de repaso

En cierto municipio se va a elegir a $3$ personas para integrar una comision de festejos. Se han presentado $30$ candidatos, de los cuales $6$ son familiares de la alcaldesa.

Con el fin de evitar malentendidos, la alcaldesa decide realizar la seleccion de manera aleatoria, y elegir a la comision extrayendo simultaneamente tres papeletas de una urna que contiene $30$, una con el nombre de cada candidato.

Calcular la probabilidad de que alguno de los parientes de la alcaldesa sea seleccionado para formar parte de la comision.

Lo podemos hacer por la regla de Laplace o por la regla de la multiplicacion.

Una urna contiene $8$ bolas rojas y $7$ bolas blancas. Supongamos que las bolas se extraen al azar, de una en una y sin reemplazamiento.

Calcular la probabilidad de que se extraigan exactamente $4$ bolas rojas antes de extraer la tercera bola blanca.

En el juego del parchis, cada jugador tiene que obtener un $5$ para empezar a jugar. Hallar la probabilidad de que un jugador:

1. 1.
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   Empiece a jugar en la cuarta ronda.

   $$P(\text{4 ronda})=\left(\frac{5}{6}\right)^{3}\frac{1}{6}$$
2. 2.
   ​

   Empiece a jugar antes de la tercera ronda.

   $$P(\text{antes 3})=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}$$
3. 3.
   ​

   Necesite mas de cinco rondas para empezar a jugar.

   $$P(\text{mas de 5})=\left(\frac{5}{6}\right)^{5}$$

El $35\%$ de los miles de ordenadores de una gran empresa son fijos, y el resto son portatiles. La cuarta parte de los ordenadores fijos y la mitad de los portatiles estan infectados por algun tipo de virus.

1. 1.
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   Si se escoge al azar uno de los ordenadores de la compañia, cual es la probabilidad de que no tenga ningun virus?

   $$P(I^{c})=P(F)P(I^{c}\mid F)+P(P)P(I^{c}\mid P)=0.35\cdot 0.75+0.65\cdot 0.5=0.5875$$
2. 2.
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   Si se escogen al azar dos de los ordenadores de la compañia, cual es la probabilidad de que al menos uno de ellos este infectado por virus?

   $$P(\text{al menos un infectado})=1-P(\text{ninguno infectado})=1-0.5875^{2}$$
3. 3.
   ​

   Los informaticos de la empresa han seleccionado al azar uno de los ordenadores y han comprobado que no tiene virus de ningun tipo. Cual es la probabilidad de que el ordenador que han analizado sea un portatil?

   $$P(P\mid I^{c})=\frac{0.65\cdot 0.5}{0.5875}\simeq 0.5532$$

El portero titular del Rufus F.C. detiene $3$ de cada $4$ penaltis, mientras que el portero suplente para $1$ de cada $2$. El portero titular juega en $8$ de cada $10$ partidos de su equipo.

1. 1.
   ​

   Hallar la probabilidad de que el proximo penalti que se pite contra el Rufus F.C. se convierta en un gol.

   $$P(\text{gol})=0.8\cdot\frac{1}{4}+0.2\cdot\frac{1}{2}=0.3$$
2. 2.
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   En el ultimo partido se lanzo un penalti contra el Rufus F.C. y no fue parado. Cual es la probabilidad de que estuviese jugando el portero titular?

   Aplicar teorema de Bayes.

   $$P(T\mid\text{gol})=\frac{P(T\cap G)}{P(G)}=\frac{0.8\cdot 1/4}{0.3}=\frac{2}{3}$$

Debido a su proximidad a una cementera, el $15\%$ de las abejas de una colmena tienen en su organismo sustancias que resultan letales para las aves que las ingieren.

1. 1.
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   Un halcon abejero acaba de tragarse $5$ abejas de esta colmena. Cual es la probabilidad de que sobreviva?

   $$P(\text{sobrevive})=0.85^{5}=0.4437$$
2. 2.
   ​

   Cuatro abejarucos han visitado la colmena, y cada uno de ellos se ha comido $5$ abejas. Cual es la probabilidad de que uno de ellos muera y los otros tres sobrevivan?

   Sea $p=0.4437$ la probabilidad de sobrevivir y $q=1-p=0.5563$ la probabilidad de morir.

   $$P(1\text{ muere y }3\text{ sobreviven})=\binom{4}{1}q^{1}p^{3}=4\cdot 0.5563\cdot(0.4437)^{3}=0.1943$$

Se seleccionan al azar y sin reemplazamiento $4$ numeros a partir de un grupo de $16$ cifras entre las que $6$ son positivas y $10$ son negativas. Los cuatro numeros seleccionados al azar se multiplican.

Cual es la probabilidad de que el producto resultante sea negativo?

Un tramposo juega contra un matematico. El juego consiste en extraer una carta de una baraja de $40$ naipes y en acertar si es un As o no lo es.

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  El tramposo, que tiene marcadas las figuras y los ases, adopta la siguiente estrategia: si la carta no esta marcada, dira que no es un As con la seguridad de que acierta. Si esta marcada, dira que es un As.

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  El matematico se limitara a decir siempre que no es un As.

Calcular la probabilidad de acertar que tiene cada uno.

Las cartas marcadas son $12$ figuras y $4$ ases ($16$ en total). Si saca marcada (prob $16/40$), dice As y acierta en $4/40$ casos. Si saca no marcada (prob $24/40$), dice no As y acierta siempre ($24/40$).

El matemático acierta si no saca un As ($36$ cartas).

A una reunion en la que se va a decidir si secundar o no la huelga del dia de la mujer acuden $2n$ mujeres y $2n$ hombres. Una vez alli se les divide al azar en dos grupos con el mismo numero de personas.

Cual es la probabilidad de que cada uno de los dos grupos resultantes tenga el mismo numero de mujeres que de hombres?

En una reserva viven $15$ manaties. Debido a la contaminacion marina, $5$ de estos animales padecen alguna enfermedad. El director de un acuario acude a esta reserva para llevarse $3$ manaties y los elige al azar.

1. 1.
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   Hallar la probabilidad de que alguno de los manaties escogidos este enfermo.

   $$P(E\geq 1)=1-P(E=0)=1-\frac{10}{15}\frac{9}{14}\frac{8}{13}=1-\frac{\binom{10}{3}}{\binom{15}{3}}$$
2. 2.
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   Calcular la probabilidad de que exactamente dos de los manaties seleccionados padezcan alguna enfermedad.

   $$P(E=2)=\frac{\binom{5}{2}\binom{10}{1}}{\binom{15}{3}}=\frac{100}{455}\simeq 0.2198$$
3. 3.
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   Cual es la probabilidad de que todos los manaties elegidos se encuentren enfermos?

   $$P(3E)=\frac{\binom{5}{3}}{\binom{15}{3}}=\frac{10}{455}\simeq 0.0220$$
4. 4.
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   Supongamos que el director del acuario comunica que alguno de los manaties que ha seleccionado esta enfermo. Cual es la probabilidad de que el numero de manaties enfermos sea exactamente dos?

   $$P(E=2\mid E\geq 1)=\frac{P(E=2)}{P(E\geq 1)}=\frac{0.2198}{0.7363}\simeq 0.2985$$

Niko ha preparado $6$ tarjetas de invitacion de cumpleaños dirigidas a $6$ de sus amigos, y ha escrito sus nombres y direcciones en $6$ sobres. Sin embargo, a la hora de introducir las tarjetas en los sobres, lo ha hecho completamente al azar.

Cual es la probabilidad de que ninguna de las tarjetas este en el sobre que le corresponde?

Un estudiante hace dos examenes de la misma asignatura el mismo dia, uno teorico y el otro practico. La probabilidad de que apruebe el examen teorico es de $0.5$, la probabilidad de que apruebe el practico es $0.8$ y la de que apruebe ambos es $0.48$.

1. 1.
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   Calcular la probabilidad de que apruebe al menos un examen.

   $$P(\text{AT}\cup\text{AP})=0.5+0.8-0.48=0.82$$
2. 2.
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   Se puede afirmar que es independiente aprobar el examen practico de aprobar el teorico?

   $$P(AT\cap AP)=0.48\neq 0.4=P(AT)P(AP)$$

   Por tanto, no son independientes.

3. 3.
   ​

   Calcular la probabilidad de que un alumno no apruebe el examen practico sabiendo que ha aprobado el examen teorico.

   $$P(\overline{AP}\mid AT)=\frac{P(\overline{AP}\cap AT)}{P(AT)}=\frac{0.5-P(AP\cap AT)}{0.5}=\frac{0.5-0.48}{0.5}=\frac{0.02}{0.5}=0.04$$
4. 4.
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   Calcular la probabilidad de aprobar unicamente el examen teorico.

   $$P(AT\cap\overline{AP})=0.02$$