17 Teorema de Bayes

Dados dos sucesos $A$ y $B$ con probabilidad no nula podemos considerar dos probabilidades condicionadas: $P(A\mid B)$ y $P(B\mid A)$ . En muchas ocasiones una de estas dos probabilidades condicionadas es mucho mas facil de calcular que la otra.

Example 17.1.

La plantilla de una empresa esta formada por $60$ trabajadores fijos y $50$ eventuales. Se sabe que, en esta plantilla, $3$ de cada $5$ trabajadores fijos fuman, mientras que para los trabajadores eventuales la proporcion de fumadores es de $3$ de cada $10$ .

Se elige una persona de este grupo para entrevistarla y acude a la entrevista fumando. Cual es la probabilidad de que se trate de un trabajador habitual?

Consideremos los sucesos $F=$ la persona seleccionada fuma, $T=$ la persona seleccionada es un trabajador fijo, $V=$ la persona seleccionada es un trabajador eventual $=T^{c}$ .

Nos piden calcular la probabilidad condicionada $P(V\mid F).$ Esta probabilidad no se puede computar de manera trivial. Sin embargo, las probabilidades condiciones $P(F\mid V)$ y $P(F\mid T)$ son mucho mas sencillas. En situaciones como esta, el teorema de Bayes es una herramienta muy util, ya que permite calcular una probabilidad condicionada a partir de las probabilidades condicionadas en sentido contrario.

Las probabilidades a priori de que el trabajador seleccionado sea fijo o eventual se pueden calcular facilmente:

P(T)=\frac{60}{110}=\frac{6}{11}

P(V)=\frac{5}{11}

Tambien son sencillas de calcular las probabilidades condicionadas

P(F\mid T)=\frac{3}{5}

P(F\mid V)=\frac{3}{10}

Estas probabilidades nos permitiran calcular $P(V\mid F)$ .

Usando las probabilidades que conocemos se obtiene que

\displaystyle P(V\mid F)

\displaystyle{}=\frac{P(V\cap F)}{P(F)}

\displaystyle{}=\frac{P(V)P(F\mid V)}{P(F)}

\displaystyle{}=\frac{P(V)P(F\mid V)}{P(T)P(F\mid T)+P(V)P(F\mid V)}

\displaystyle{}=\frac{5/11\cdot 3/10}{6/11\cdot 3/5+5/11\cdot 3/10}

\displaystyle{}=0.294

Theorem 17.2 (de Bayes).

Sea $A_{1},\ldots,A_{k}$ una particion de $\Omega$ y sea $B\subset\Omega$ cualquier suceso aleatorio con $P(B)>0$ . Entonces

P(A_{i}\mid B)=\frac{P(A_{i})P(B\mid A_{i})}{P(A_{1})P(B\mid A_{1})+\cdots+P(A% _{k})P(B\mid A_{k})}=\frac{P(A_{i})P(B\mid A_{i})}{\sum_{j=1}^{k}P(A_{j})P(B% \mid A_{j})}

Proof 17.3.

\displaystyle P(A_{i}\mid B)

\displaystyle{}=\frac{P(A_{i}\cap B)}{P(B)}

\displaystyle{}\overset{\text{regla mul}}{=}\frac{P(A_{i})P(B\mid A_{i})}{P(B)}

\displaystyle{}\overset{\text{Prob. total}}{=}\frac{P(A_{i})P(B\mid A_{i})}{% \sum_{j=1}^{k}P(A_{j})P(B\mid A_{j})}

En el teorema de Bayes,

•

las probabilidades $P(A_{j})$ reciben el nombre de probabilidades a priori
•

las probabilidades $P(A_{j}\mid B)$ reciben el nombre de probabilidades a posteriori
•

las probabilidades $P(B\mid A_{j})$ reciben el nombre de verosimilitudes.

Example 17.4.

Un sobre contiene dos tarjetas: una con sus dos caras blancas y la otra con una cara blanca y otra negra. Se elige sin mirar una de las tarjetas del sobre y se coloca sobre una mesa. La cara que queda visible resulta ser blanca.

Cual es la probabilidad de que la otra cara sea negra?

$VB=$ la cara que veo es blanca, $BN=$ carta blanca-negra, $BB=$ carta blanca-blanca

P(BN\mid VB)=\frac{P(BN)P(VB\mid BN)}{P(BN)P(VB\mid BN)+P(BB)P(VB\mid BB)}=% \frac{1/2\cdot 1/2}{1/2\cdot 1/2+1/2\cdot 1}=\frac{1}{3}

Example 17.5.

Segun estudios realizados por expertos en marketing textil, el $60\%$ de las mujeres utiliza calcetines de color, pero solo el $20\%$ de hombres los usa.

A un congreso sobre procesadores graficos, que se celebra en el hotel Idhna, asisten el triple de hombres que de mujeres. La organizacion del congreso ha reservado este hotel para que sea ocupado de forma exclusiva por los asistentes al mismo.

En uno de los dormitorios del Idhna, los encargados de la limpieza han encontrado un par de calcetines amarillos listos para ser enviados a la lavanderia.

Calcular la probabilidad de que la persona que ocupa esta habitacion sea una mujer.

P(M\mid C)=\frac{P(M\cap C)}{P(C)}=\frac{1/4\cdot 0.6}{1/4\cdot 0.6+3/4\cdot 0% .2}=\frac{1}{2}

Example 17.6.

Bojan contesta la verdad el $94\%$ de las veces que le hacen una pregunta. Se ha extraido al azzar una bola de una urna que contenia $5$ bolas rojas y $20$ negras. Tras ser preguntado sobre el color de la bola extraida, Bojan ha afirmado que es roja.

Cual es la probabilidad de que la bola extraida sea negra?

P(N\mid\text{Afirma }R)=\frac{P(N)P(\text{Afirma }R\mid N)}{P(R)P(\text{Afirma% }R\mid R)+P(N)P(\text{Afirma }R\mid N)}=\frac{0.8\cdot 0.06}{0.2\cdot 0.94+0.% 8\cdot 0.06}=0.2034