18 Probabilidad de la union de 𝑚 sucesos ‣ Parte II Cálculo de probabilidades ‣ Probabilidad

Teorema II.3.

Sean $(\Omega,\mathscr{A},P)$ un espacio probabilistico con $card(\Omega)$ finito o numerable, y una coleccion arbitraria de sucesos aleatorios $A_{1},A_{2},\ldots,A_{m}\in\mathscr{A}$ .

La probabilidad de que ocurra alguno de estos $m$ sucesos responde a la formula

\displaystyle P\left(\bigcup^{m}_{i=1}A_{i}\right)

\displaystyle{}=\sum_{i=1}^{m}P(A_{i})-\sum_{1\leq i_{1}<i_{2}\leq m}P(A_{i_{1% }}\cup A_{i_{2}})+\sum_{1\leq i_{1}<i_{2}<i_{3}\leq m}P(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}% }\cap A_{i_{3}})+

\displaystyle{}\cdots+(-1)^{r+1}\sum_{1\leq i_{1}<i_{2}\leq m}P(A_{i_{1}}\cap A% _{i_{2}}\cap\cdots\cap A_{i_{r}})+

\displaystyle{}\cdots+(-1)^{m+1}P(A_{1}\cap A_{2}\cap\cdots\cap A_{m})

Ejemplo II.21.

Se dispone de una baraja con $10$ cartas numeradas del $1$ al $10$ , y de $10$ lugares sobre una mesa con la misma numeracion.

Se barajan las cartas y a continuacion se coloca un naipe sobre cada posicion de la mesa.

Cual es la probabilidad de que alguna de las cartas caiga en el lugar que tiene su numero?

P(\text{alguna coincidencia})=1-P(\text{ninguna})=1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}-% \frac{1}{4!}+\cdots-\frac{1}{10!}=0{,}6321

Ejemplo II.22.

Se reparten al azar $8$ bolas en $6$ urnas sin restriccion de capacidad. Cual es la probabilidad de que ninguna urna quede vacia?

Sea $A_{i}$ el suceso de que la urna $i$ quede vacia.

P(\text{ninguna vacia})=1-P\left(\bigcup_{i=1}^{6}A_{i}\right)=1-\sum_{k=1}^{6% }(-1)^{k-1}\binom{6}{k}\left(\frac{6-k}{6}\right)^{8}=0{,}1140

18 Probabilidad de la union de mm sucesos

18 Probabilidad de la union de $m$ sucesos