14 Regla de la multiplicacion

Consideremos dos sucesos A,B⊂ΩA,B\subset\Omega con P⁢(A)>0P(A)>0 y P⁢(B)>0P(B)>0. La definicion de probabilidad condicionada implica que

P⁢(A∣B)=P⁢(A∩B)P⁢(B)⇒P⁢(A∩B)=P⁢(B)⁢P⁢(A∣B)P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\Rightarrow P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)

y tambien que

P⁢(B∣A)=P⁢(A∩B)P⁢(A)⇒P⁢(A∩B)=P⁢(A)⁢P⁢(B∣A)P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\Rightarrow P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)

Por tanto,

P⁢(A∩B)=P⁢(A)⁢P⁢(B∣A)=P⁢(B)⁢P⁢(A∣B)P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)=P(B)P(A\mid B)

Es decir, la probabilidad de que ocurran dos sucesos a la vez puede calcularse como la probabilidad de que ocurra uno cualquiera de ellos multiplicada por la probabilidad de que ocurra el otro suceso sabiendo que ha ocurrido el primero. Nos referiremos a este resultado como regla de la multiplicacion.

Example 14.1.

En cierto pais, el 40%40\% de la poblacion esta formada por mujeres. Se sabe que el 15%15\% de los hombres y el 28%28\% de las mujeres esta en paro. Un estudio requiere contactar con una mujer que este desempleada.

Si se selecciona al azar a cualquier persona dentro de la poblacion, cual es la probabilidad de que dicha persona cumpla los requisitos del estudio?

P⁢(M∩D)=P⁢(M)⁢P⁢(D|M)=0.4⋅0.28=0.112P(\text{M}\cap\text{D})=P(M)P(D|M)=0.4\cdot 0.28=0.112
Example 14.2.

La baraja española consta de 4040 cartas divididas en 44 palos. Se van a seleccionar al azar tres cartas de una baraja de este tipo. Las cartas se eligirán sin reemplazamiento, es decir, cuando se saca una carta se queda fuera de la baraja.

  1. 1.
    ​

    Cual es la probabilidad de que las tres cartas sean copas?

    P⁢(C1∩C2∩C3)=P⁢(C1)∩P⁢(C2∣C2)⁢P⁢(C3∣C1∩C2)=1040⋅939⋅838P(C_{1}\cap C_{2}\cap C_{3})=P(C_{1})\cap P(C_{2}\mid C_{2})P(C_{3}\mid C_{1}% \cap C_{2})=\frac{10}{40}\cdot\frac{9}{39}\cdot\frac{8}{38}
  2. 2.
    ​

    Cual es la probabilidad de que las dos primeras cartas sean ases y la tercera sea un rey?

    P⁢(2⁢A,1⁢R)=440⋅339+438P(2A,1R)=\frac{4}{40}\cdot\frac{3}{39}+\frac{4}{38}
  3. 3.
    ​

    Cual es la probabilidad de que se obtengan dos ases y un rey en cualquier orden?

    P⁢(2⁢A,1⁢R)=440⋅339+438⋅(31)P(2A,1R)=\frac{4}{40}\cdot\frac{3}{39}+\frac{4}{38}\cdot\binom{3}{1}
  4. 4.
    ​

    Cual es la probabilidad de no obtener ningun caballo?

    P⁢(ningun caballo)=3640+3539⋅3438P(\text{ningun caballo})=\frac{36}{40}+\frac{35}{39}\cdot\frac{34}{38}
  5. 5.
    ​

    Cual es la probabilidad de no obtener alguna espada?

    P⁢(ninguna espada)=1−3040⋅2939⋅2838P(\text{ninguna espada})=1-\frac{30}{40}\cdot\frac{29}{39}\cdot\frac{28}{38}
  6. 6.
    ​

    Cual es la probabilidad de obtener una sota, un caballo y un rey en cualquier orden?

    P⁢(1⁢S,1⁢C,1⁢R)=440⋅439⋅438⋅3!P(1S,1C,1R)=\frac{4}{40}\cdot\frac{4}{39}\cdot\frac{4}{38}\cdot 3!
Example 14.3.

El temario de un examen de oposicion consta de 8080 temas que estan numerados. En el examen, cada opositor saca cuatro bolas de una bolsa que contiene 8080 bolas numeradasd con cada uno de los temas. El opositor elige el tema que desee (uno solo) de entre esos cuatro y lo expone ante el tribunal.

Una opositora acude al examen habiendo estudiado solo 2020 de estos temas. Cual es la probabilidad de que apruebe la oposicion?

La probabilidad de aprobar es la complementaria de la probabilidad de suspender. Esta ultima es facil de calcular, ya que, aplicando la regla de la multiplicacion se obtiene que

P⁢(suspender)=6080⋅5979⋅5878⋅5777=0.3083P(\text{suspender})=\frac{60}{80}\cdot\frac{59}{79}\cdot\frac{58}{78}\cdot% \frac{57}{77}=0.3083

Por tanto

P⁢(aprobar)=1−P⁢(suspender)=1−0.3083=0.6917P(\text{aprobar})=1-P(\text{suspender})=1-0.3083=0.6917

Es decir, preparando la cuarta parte de los 8080 temas, la opositora tiene una probabilidad de aprobar de casi el 70%70\%.