13 Probabilidad condicionada

En muchas ocasiones, cuando se esta calculando la probabilidad de un suceso, aparece nueva informacion que cambia o actualiza las posibilidades de que ocurra dicho evento.

Supongamos por ejemplo que se lanza un dado equilibrado y se puede apostar a pares o nones. Nuestra intencion inicial es apostar por los numeros impares. Usando la regla de Laplace tenemos que

P⁢(impar)=36=0.5=P⁢(par)P(\text{impar})=\frac{3}{6}=0.5=P(\text{par})

por lo que la apuesta que tenemos en mente es razonable.

Supongamos que alguien nos dice que el resultado del lanzamiento ha sido un numero mayor que dos. Prefeririamos cambiar nuestra apuesta antes de ver el resultado? Y si se nos informa de que el resultado obtenido ha sido un numero mayor que tres?

El conocimiento de que ha ocurrido cierto suceso BB puede modificar la probabilidad de que se verifique otro suceso AA, ya que por lo general, la ocurrencia de BB cambiara el numero de casos posibles del experimento, y tambien el numero de casos favorables al suceso AA. La idea de probabilidad condicionada permite incorporar esta informacion, relevante para el calculo de la probabilidad de un suceso.

Definition 13.1.

Dado un espacio probabilistico (Ω,𝒜︁,P)(\Omega,\mathscr{A},P) y dos sucesos A,B∈𝒜︁A,B\in\mathscr{A}, con P⁢(B)>0P(B)>0, se define la probabilidad condicionada del suceso AA sabiendo que ha ocurrido BB como

P⁢(A∣B)=P⁢(A∩B)P⁢(B)P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
Example 13.2.

Para el lanzamiento de un lado equilibrado:

  1. 1.
    ​

    P⁢(lanzamiento impar∣lanzamiento≥2)=2/65/6=25P(\text{lanzamiento impar}\mid\text{lanzamiento}\geq 2)=\frac{2/6}{5/6}=\frac{% 2}{5}

  2. 2.
    ​

    P⁢(lanzamiento impar∣lanzamiento ≥3)=2/64/6=12P(\text{lanzamiento impar}\mid\text{lanzamiento }\geq 3)=\frac{2/6}{4/6}=\frac% {1}{2}

  3. 3.
    ​

    P⁢(lanzamiento multiplo de 3∣lanzamiento par)=13P(\text{lanzamiento multiplo de 3}\mid\text{lanzamiento par})=\frac{1}{3}

  4. 4.
    ​

    P⁢(lanzamiento par∣lanzamiento multiplo de 3)=12P(\text{lanzamiento par}\mid\text{lanzamiento multiplo de 3})=\frac{1}{2}

Example 13.3.

Se han extraido al azar, y sin reemplazamiento, 33 cartas de una baraja española (que consta de 4040 naipes divididos en 44 palos).

Una persona que estaba presente en esta extracción ha corroborado que alguno de los naipes seleccionados es del palo de espadas.

Cual es la probabilidad de que el numero de espadasd seleccionadas sea menor que 33?

P⁢(E⁢<3∣⁢N≥1)=P⁢(E=1)+P⁢(E=2)P⁢(N≥1)=(101)⁢(302)(403)+(102)⁢(301)(403)1−(303)(403)P(E<3\mid N\geq 1)=\frac{P(E=1)+P(E=2)}{P(N\geq 1)}=\frac{\frac{\binom{10}{1}% \binom{30}{2}}{\binom{40}{3}}+\frac{\binom{10}{2}\binom{30}{1}}{\binom{40}{3}}% }{1-\frac{\binom{30}{3}}{\binom{40}{3}}}