12 Espacios equiprobables. Regla de Laplace.

En muchas ocasiones, por razones de simetria fisica o logica, todos los resultados posibles de un experimento tienen las mismas posibilidades de ocurrir. Por ejemplo, al lanzar un dado equilibrado todos los valores de 11 a 66 tienen la misma posibilidad de aparecer.

Se dice por ello que estos espacios muestrales son equiprobables.

Definition 12.1.

Dado un espacio probabilistico (Ω,𝒜︁,P)(\Omega,\mathscr{A},P) con c⁢a⁢r⁢d⁢(Ω)<∞card(\Omega)<\infty, diremos que se trata de un espacio equiprobable si para todo suceso elemental ω∈Ω\omega\in\Omega se verifica

P⁢(ω)=1c⁢a⁢r⁢d⁢(Ω)P(\omega)=\frac{1}{card(\Omega)}

Sea (Ω,𝒜︁,P)(\Omega,\mathscr{A},P) un espacio equiprobable. Entonces la probabilidad de cualquier suceso A⊂ΩA\subset\Omega viene dada por

P⁢(A)=c⁢a⁢r⁢d⁢(A)c⁢a⁢r⁢d⁢(Ω)P(A)=\frac{card(A)}{card(\Omega)}

Muchas veces el recuento de los casos posibles y los favorables es mas complicado. Supongamos, por ejemplo, que en lugar de lanzar dos dados lanzamos cinco dados, y queremos calcular la probabilidad de que la suma de las puntuaciones este entre 10 y 2020. Esta probabilidad puede calcularse usando la regla de Laplace, pero contar los casos directamente resulta muy complejo.

En estas ocasiones conviene hacer uso de la combinatoria para contar el numero de casos posibles y el de los casos favorables.

Example 12.2.

En una residencia de estudiantes se alojan 12 alumnas. Conocedoras de la contaminacion que genera el abuso del coche, 8 de ellas utilizan el transporte publico para ir a la Universidad. Las otras 44, sin embargo, recurren diariamente a sus coches para asistir a clase. Un sociologo esta analizando si las estudiantes actuales tienen habitos con menor impacto ecologico. Por ello acude a la residencia para encuestar a algunas estudiantes. Una vez alli decide entrevistar a las 33 primeras a las que encuentre.

  1. a)
    ​

    Calcular la probabilidad de que exactamente 22 de las estudiantes entrevistadas utilicen diariamente el transporte publico.

    (82)⋅(41)(123)\frac{\binom{8}{2}\cdot\binom{4}{1}}{\binom{12}{3}}
  2. b)
    ​

    Cual es la probabilidad de que alguna de las estudiantes encuestadas acuda a la universidad en coche?

    1−(83)(123)1-\frac{\binom{8}{3}}{\binom{12}{3}}
Example 12.3.

Un edificio consta de 99 pisos y planta baja. Siete personas cogen el ascensor en el bajo. Suponiendo que para cada una de estas siete personas, la probabilidad de bajar del ascensor en cualquiera de los 99 pisos es la misma, calcular:

  1. 1.
    ​

    La probabilidad de que todas dejen el ascensor en el mismo piso.

    P⁢(todos mismo piso)=997−9−6P(\text{todos mismo piso})=\frac{9}{9^{7}}-9^{-6}
  2. 2.
    ​

    La probabilidad de que las siete se bajen del ascensor en pisos diferentes.

    P⁢(todos distinto piso)=9⋅8⁢⋯⁢397P(\text{todos distinto piso})=\frac{9\cdot 8\cdots 3}{9^{7}}
Example 12.4.

Se introducen al azar (y con posibilidad de reemplazamiento) 55 bolas en 88 urnas.

  1. 1.
    ​

    Cual es la probabilidad de que las 55 bolas se introduzcan en la misma urna?

    P⁢(todos misma urna)=885P(\text{todos misma urna})=\frac{8}{8^{5}}
  2. 2.
    ​

    Cual es la probabilidad de que al menos una urna tenga dos bolas o mas?

    P⁢(1 urna dos bolas o mas)=1−P⁢(ninguna 2 o mas)=1−8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅385P(\text{1 urna dos bolas o mas})=1-P(\text{ninguna 2 o mas})=1-\frac{8\cdot 7% \cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3}{8^{5}}
Example 12.5.

Cual es la probabilidad de que en un grupo de 3030 personas haya alguna coincidencia de cumpleaños? Suponer que, para cada persona, es igual de probable haber nacido en cualquiera de los 365 dias del año.

P⁢(alguna coincidencia)=1−P⁢(ninguna coincidencia)=1−365⋅364⁢⋯⁢33636530=0.7063{}P(\text{alguna coincidencia})=1-P(\text{ninguna coincidencia})=1-\frac{365% \cdot 364\cdots 336}{365^{30}}=0.7063

Observese que la regla de Laplace no puede aplicarse para calcular probabilidades en cualquier experimento aleatorio, ya que muchas veces los espacios muestrales no son equiprobables.