11 Limites de sucesiones de conjuntos

Consideremos una sucesion de eventos (conjuntos) sobre un espacio muestral $\Omega$ ,

\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\Omega

Definición I.13.

El limite superior de la sucesion

\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}

se define como

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\sup A_{n}=\left\{\omega\in A_{i}% \text{ para un numero infinito de valores de }i\right\}

Proposición I.8.

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\sup A_{n}=\bigcap^{\infty}_{n=1}% \bigcup^{\infty}_{i=n}A_{i}

Definición I.14.

El limite inferior de la sucesion

\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}

se define como

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\mathop{\operator@font\acute{{\imath% }}nf}A_{n}=\left\{\omega\in A_{i}\text{ para un numero infinito de valores de % }i\right\}

Proposición I.9.

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\mathop{\operator@font\acute{{\imath% }}nf}A_{n}=\bigcup^{\infty}_{n=1}\bigcap^{\infty}_{i=n}A_{i}

Observación I.3.

Para cualquier sucesion de conjuntos $\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\Omega$ se verifica

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\mathop{\operator@font\acute{{\imath% }}nf}A_{n}\subset\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\sup A_{n}

Definición I.15.

Se dice que la sucesion $\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\Omega$ es convergente si se verifica

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\sup A_{n}=\mathop{\operator@font l% \acute{{\imath}}m}\mathop{\operator@font\acute{{\imath}}nf}A_{n}

es decir, si

\bigcap^{\infty}_{n=1}\bigcup^{\infty}_{i=n}A_{i}=\bigcup^{\infty}_{n=1}% \bigcap^{\infty}_{i=n}A_{i}

En estos casos, a ese conjunto comun se le llama limite de la sucesion de eventos $\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}$ :

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}A_{n}=\mathop{\operator@font l\acute% {{\imath}}m}\sup A_{n}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\mathop{% \operator@font\acute{{\imath}}nf}A_{n}

Definición I.16.

Se dice que $\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\Omega$ es una sucesion no decreciente si para todo $n\in\mathbb{N}$ se verifica que

A_{n}\subset A_{n+1}

Se dice que $\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\Omega$ es una sucesion no creciente si para todo $n\in\mathbb{N}$ se verifica

A_{n+1}\subset A_{n}

Si una sucesion de conjuntos es no creciente o no decreciente se dice que es una sucesion monotona.

Proposición I.10.

Si $\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\Omega$ es monotona, entonces es una sucesion convergente.

Dado un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathscr{A},P)$ y una sucesion de eventos $\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\Omega$ , una pregunta natural es cuestionarse en que casos el limite de las probabilidades coincide con la probabilidad del limite.

El resultado siguiente nos proporciona la respuesta a esta cuestion

Teorema I.1.

Si $\left\{A_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\Omega$ es una sucesion convergente sobre $(\Omega,\mathscr{A},P)$ entonces se verifica

P(\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}A_{n})=\mathop{\operator@font l% \acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}P(A_{n})