46 Aproximacion de la binomial por la distribucion normal

Example 46.1.

La proporcion de piezas defectuosas que fabrica cierta maquina es del $40\%$ . Si se seleccionan al azar $500$ piezas, cual es la probabilidad de que el numero de defectuosas este entre $197$ y $205$ ?

Theorem 46.2 (de Moivre-Laplace).

Si $H_{n}\sim Bin(n,p)$ , entonces asintoticamente se verifica que

H_{n}\approx N(\mu=np,\sigma^{2}=npq)

Proof 46.3.

Sean $X_{i}\overset{i.i.d.}{\sim}Bin(1,p)$ y $H_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}$ . Sabemos que

E(X_{i})=p,\quad V(X_{i})=pq

y por tanto $E(H_{n})=np$ , $V(H_{n})=npq$ .

Aplicando el teorema del limite central,

H_{n}\approx N(\mu=np,\sigma^{2}=npq)

Este resultado nos permite calcular probabilidades aproximadas sobre binomiales con $n$ grande de manera mas comoda.

En general, suele considerarse que esta aproximacion es buena si se cumple $np\geq 5$ y $nq\geq 5$ .

(correccion por continuidad no entra).