43 Leyes de los grandes números

Example 43.1.

Consideremos una coleccion $\left\{X_{i}\right\}_{i\in\mathbb{N}}$ de variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas con distribucion comun

X_{i}\sim Exp(0.5)

1.

¿Cuales son la esperanza y la varianza de $\overline{X_{n}}=\frac{\sum^{n}_{i=1}X_{i}}{n}$ ? $E(X_{i})=2,V(X_{i})=4\implies E(\overline{X_{n}})=2,V(\overline{X_{n}})=\frac{% 4}{n}$ .
2.

¿Que ocurre con la varianza de $\overline{X_{n}}$ cuando $n$ tiende a infinito? Tiende a 0.
3.

Intuitivamente, ¿que sucedera con la distribucion de probabilidad de $\left\{X_{n}\right\}$ cuando $n$ tiende a infinito? La distribucion convergera en probabilidad a 2, puesto que la varianza desaparece en el infinito.

Las leyes de los grandes numeros nos indican que ocurre con la distribucion limite de $\left\{X_{n}\right\}$ en este tipo de situaciones.

Proposition 43.2 (Ley debil de los grandes numeros de Khintchin).

Sea $\left\{X_{i}\right\}_{i\in\mathbb{N}}$ una sucesion de variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas (i.i.d.) con

E(X_{i})=\mu,\text{ y }V(X_{i})=\sigma^{2}<\infty

Consideremos la sucesion de promedios $\overline{X_{n}}$ . Entonces,

\overline{X_{n}}\overset{P}{\to}\mu.

Proof 43.3.

Ver.

Example 43.4.

Consideremos una sucesion $\left\{X_{i}\right\}_{i\in\mathbb{N}}$ de variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas con distribucion comun

X_{i}\sim Exp(0.5)

Comprobar que $\overline{X_{n}}\overset{P}{\to}2$ .

Como $E(X_{i})=2$ y $V(X_{i})=4<\infty$ , por la Ley Debil de los Grandes Numeros $\overline{X_{n}}\overset{P}{\to}2$ .

Este resultado fue mejorado posteriormente por Andréi Kolmogórov con su ley fuerte de los grandes números.

Proposition 43.5.

Sea $\left\{X_{i}\right\}_{i\in\mathbb{N}}$ una sucesion de variables aleatorias i.i.d. con

E(X_{i})=\mu,\quad V(X_{i})=\sigma^{2}<\infty.

Entonces

\overline{X_{n}}\overset{c.s.}{\to}\mu

Example 43.6.

Consideremos una secuencia $\left\{X_{i}\right\}_{i\in\mathbb{N}}$ de variables aleatorias i.i.d. con distribucion comun

X_{i}\sim Ge(0.2)

Comprobar que $\overline{X_{n}}\overset{c.s.}{\to}5$ .

Como $E(X_{i})=5$ y $V(X_{i})=20<\infty$ , por la Ley Fuerte de Kolmogorov $\overline{X_{n}}\overset{c.s.}{\to}5$ .

Proposition 43.7.

Sea $X_{1},X_{2},\ldots$ una sucesion de variables aleatorias incorrelacionadas con

E(X_{i})=\mu_{i}\text{ y }V(X_{i})=\sigma^{2}_{i}<\infty

Consideremos la sucesion de promedios $\overline{X_{n}}$ y sea $\overline{\mu}=E(\overline{X_{n}})=\frac{\sum_{i=1}^{n}\mu_{i}}{n}$ . Entonces

\overline{X_{n}}-\overline{\mu_{n}}\overset{P}{\to}0.