32 Distribucion de transformaciones de variables aleatorias

Dada la variable aleatoria $H$ con funcion de distribucion

1. 1.
   ​

   Determinar la funcion de masa de probabilidad de $J=H^{4}+5$

   Escrita abreviadamente en forma matricial, la distribucion de $H$ es

   $$H\equiv\begin{pmatrix}-3&-1&1&2&3\\ 0.2&0.3&0.1&0.3&0.1\\ \end{pmatrix}$$

   y por tanto la distribucion de $J=H^{4}+5$ es

   $$J\equiv\begin{pmatrix}6&21&86\\ 0.4&0.3&0.3\\ \end{pmatrix}$$
2. 2.
   ​

   Calcular $P(J>20)$ y $E(J)$.

   $\displaystyle P(J>20)$

   $\displaystyle{}=P(J=21)+P(J=86)=0.3+0.3=0.6$

   $\displaystyle E(J)$

   $\displaystyle{}=0.4\cdot 6+0.3\cdot 21+0.3\cdot 86=34.5$

Sea $M$ una variable aleatoria con distribucion uniforme en el intervalo $(0,1)$, $M\sim U(0,1)$.

1. 1.
   ​

   Determinar la funcion de densidad de la variable aleatoria $X=e^{M}$.

   Tenemos que encontrar la funcion de densidad de $X$. Para ello, primero determinamos su funcion de distribucion

   $$F_{X}(t)=P(X\leq t)=P(e^{M}\leq t)$$

   El primer paso es determinar cual es el soporte de $X$. Para ello lo mas sencillo es representar la funcion

   $$g(m)=e^{m}$$

   a lo largo del soporte de $M$, que en este caso es el intervalo $[0,1]$. El soporte de $X$ es $S_{X}=[1,e]$.

   Observemos ahora que, dado que $M\sim U(0,1)$, la funcion de distribucion de $M$, $F_{M}$, es

   $$F_{M}(z)=P[M\leq z]=\begin{cases}0\quad&\text{ si }z<0\\ z&\text{ si }0\leq z\leq 1\\ 1&\text{ si }z>1\end{cases}$$

   Nuestro objetivo es calcular $F_{X}(t)=P(X\leq t)=P(e^{M}\leq t)$. En primer lugar podemos observar que, puesto que $S_{X}=[1,e]$, $F_{X}(t)=0\;\forall t<1$ y $F_{X}(t)=1\;\forall t>e$.

   Por otra parte, para $t\in[1,e]$, $F_{X}(t)=P(X\leq t)=P(e^{M}\leq t)=P(M\leq\ln t)=\ln(t)$. Luego la funcion de distribucion de $X$ es

   $$F_{X}(t)=\begin{cases}0\quad&\text{ si }t<1\\ \ln(t)&\text{ si }1\leq t<e\\ 1&\text{ si }t\geq e\end{cases}$$

   y por tanto su funcion de densidad es

   $$f_{X}(t)=\begin{cases}\frac{1}{t}\quad&\text{ si }1\leq t\leq e\\ 0\text{ si }t\notin[1,e]\end{cases}$$
2. 2.
   ​

   Calcular $P(1.5<X<2)$.

   $$P(1.5<X<2)=F_{X}(2)-F_{X}(1.5)=\ln(2)-\ln(1.5)=0.2877$$

Sea $G$ una variable aleatoria con funcion de densidad

Determinar la funcion de densidad de las siguientes variables aleatorias:

1. 1.
   ​

   $A=3G+1$.

2. 2.
   ​

   $B=e^{-G}$

3. 3.
   ​

   $C=G^{2}$

La funcion de distribucion de $G$ es

1. 1.
   ​

   Queremos determinar la funcion de densidad de $A=3G+1$. Para ello comenzaremos por encontrar su funcion de distribucion. El soporte de $A$ sera el intervalo $(1,4)$.

   Por tanto sabemos que $F_{A}(t)=0$ para todo $t\leq 1$ y $F_{A}(t)=1$ para todo $t\geq 4$. Para $t\in(1,4)$ tenemos que

   $$F_{A}(t)=P(A\leq t)=P(3G+1\leq t)=P\left(G\leq\frac{t-1}{3}\right)=\left(\frac{t-1}{3}\right)^{2}$$

   Juntando los tres tramos tenemos que la expresion completa de la funcion de distribucion de $B$ es

   $$F_{A}(t)=\begin{cases}0\quad&\text{ si }t\leq 1\\ \left(\frac{t-1}{3}\right)^{2}&\text{ si }1<t<4\\ 1&\text{ si }t\geq 4\end{cases}$$

   y derivando $F_{A}(t)$ obtenemos que la funcion de densidad de $A$ es

   $$f_{A}(t)=\begin{cases}\frac{2(t-1)}{9}\quad&\text{ si }t\in(1,4)\\ 0&\text{ si }t\notin(1,4)\end{cases}$$
2. 2.
   ​

   Ahora queremos determinar la funcion de densidad de $B=e^{-G}$. El soporte de $B$ sera el intervalo $(e^{-1},1)$. Por tanto sabemos que $F_{B}(t)=0$ para todo $t\leq e^{-1}$ y $F_{B}(t)=1$ para todo $t\geq 1$.

   Para $t\in(e^{-1},1)$ tenemos que

   $\displaystyle F_{B}(t)$

   $\displaystyle{}=P(B\leq t)=P(e^{-G}\leq t)=P(-G\leq\ln(t))=P(G\geq-\ln(t))$

   $\displaystyle{}=1-F_{G}(-\ln(t))=1-\ln(t)^{2}$

   Juntando los tres tramos se tiene la funcion de distribucion de $B$. Y derivando $F_{B}(t)$ obtenemos que la funcion de densidad de $B$ es

   $$f_{B}(t)=\begin{cases}\frac{-2\ln(t)}{t}\quad&\text{ si }t\in(e^{-1},1)\\ 0&\text{ si }t\notin(e^{-1},1)\end{cases}$$
3. 3.
   ​

   Por ultimo, tenemos que encontrar la distribucion de $C=G^{2}$. Como se puede comprobar, el soporte de $C=X^{2}$ es tambien el intervalo $(0,1)$.

   Para $t\in(0,1)$ se tiene

   $$F_{C}(t)=P(C\leq t)=P(G^{2}\leq t)=P(G\leq\sqrt{3})=F_{G}(\sqrt{t})=\sqrt{t}^{2}=t$$

   La expresion completa de la funcion de distribucion de $C$ es por tanto

   $$F_{C}(t)=\begin{cases}0\quad&\text{ si }t\leq 0\\ t&\text{ si }0<t<1\\ 1\text{ si }t\geq 1\end{cases}$$

   y derivando $F_{B}(t)$ obtenemos que la funcion de densidad de $B$ es

   $$f_{B}(t)=\begin{cases}1\quad&\text{ si }t\in(0,1)\\ 0&\text{ si }t\notin(0,1)\end{cases}$$

   Notese que $C$ sigue una distribucion uniforme en el intervalo $(0,1)$, $C\sim U(0,1)$.

Sea $K$ una variable aleatoria con funcion de densidad

Determinar la funcion de densidad de la variable aleatoria $Y=\left|K\right|$.

Integrando $f_{K}(x)$ se obtiene que la funcion de distribucion de $K$ es

En este caso debemos encontrar la funcion de densidad de $Y=\left|K\right|$.

Para determinar el soporte de $Y$ y la relacion entre $K$ e $Y$ representamos la funcion $g(x)=\left|x\right|$ a lo largo del soporte de $K$, que es el intervalo $(-3,3)$.

El grafico de la pagina siguiente se aprecia claramente que el soporte de $Y$ va a ser el intervalo $S_{Y}=[0,3)$.

Por tanto sabemos que

y que

Tambien se observa que la transformacion no es monotona. Para $t\in[0,3)$ tenemos que

Juntando los tres tramos se obtiene la funcion de distribucion de $Y$. Derivando $F_{Y}(t)$ obtenemos la funcion de densidad de $Y$: