30 Esperanza y varianza de variables aleatorias continuas

Definition 30.1.

La esperanza o media de una variable aleatoria continua $X$ viene dada por

E(X)=\int_{S_{X}}xf_{X}(x)dx

Al igual que en el caso de las variables discretas, es habitual denotar la esperanza de una variable continua $X$ por $\mu_{X}$ o $\mu$ . Indica donde se encuentra en centro de gravedad o punto de equilibrio de la distribucion.

Example 30.2.

Consideremos la variable aleatoria $D$ que modela el diametro de los ejes, cuya funcion de densidad es

f_{D}(x)=\begin{cases}\frac{x}{32}\text{ si }x\in[6,10],\\ 0\text{ en caso contrario}\end{cases}

La esperanza de $D$ es

\displaystyle E(D)

\displaystyle{}=\int_{S_{D}}xf_{D}(x)dx=\int^{10}_{6}x\frac{x}{32}dx=\int^{10}% _{6}\frac{x^{2}}{32}dx

\displaystyle{}=\left[\frac{x^{3}}{32\cdot 3}\right]^{10}_{6}=\frac{10^{3}-6^{% 3}}{96}=8.1667

Luego la longitud esperada de los diametros de los ejes que fabrica esta maquina es $8.1667$ metros.

Definition 30.3.

La varianza de una variable aleatoria continua,

V(X)=E[(X-\mu)^{2}]=E(X^{2})-E^{2}(X),

puede calcularse como

V(X)=\int_{S_{X}}x^{2}f_{X}(x)dx-\mu^{2}_{X}

$V(X)$ mide la dispersion de $X$ alrededor de su punto de equilibrio, es decir, alrededor de $E(X)$ . Al igual que en el caso de las variables discretas, es comun denotar la varianza de una variable aleatoria continua $\sigma^{2}_{X}$ o $\sigma^{2}$ .

Definition 30.4.

La desviacion tipica de $X$ es la raiz cuadrada de su varianza, y se denota $\sigma_{X}$ , o simplemente $\sigma$ .

Example 30.5.

Para los diametros de los ejes de los ejemplos anteriores tenemos que

E(D)=\int_{S_{D}}xf_{D}(x)dx=\int^{10}_{6}\frac{x^{2}}{32}dx=8.1667

E(D^{2})=\int_{S_{D}}x^{2}f_{D}(x)dx=\int^{10}_{6}x^{2}\frac{x}{32}dx=\frac{87% 04}{128}=68m^{2}

Por tanto la varianza de los diametros de los ejes es

V(D)=E(D^{2})-E^{2}(D)=68-8.1667^{2}=1.3056m^{2}

La desviacion tipica de $D$ es

\sigma_{D}=\sqrt{1.3056}=1.1426m

Example 30.6.

Un laboratorio esta analizando el tiempo que requieren sus ordenadores para compilar un programa denominado JARS. El laboratorio ha constatado que el tiempo de compilacion (medido en minutos) es una variable aleatoria, $C$ , con funcion de distribucion

F_{C}(x)=\begin{cases}0\text{ si }x<1\\ \frac{x^{3}-1}{124}\text{ si }1\leq x\leq 5\\ 1\text{ si }x>5\end{cases}

1.

Si se elige al azar uno de los ordenadores del laboratorio, cual es la probabilidad de que tarde mas de $3$ minutos en compilar el programa?

$P(C>3)=1-P(C\leq 3)=1-F_{C}(3)=1-\frac{3^{3}-1}{124}=0.7903$
2.

Se ha comprobado que un determinado ordenador necesita mas de $3$ minutos para compilar JARS. Cual es la probabilidad de que tarde mas de 4 minutos?

$P(C>4\mid C>3)=\frac{P(C>4)}{P(C>3)}=\frac{1-\frac{4^{3}-1}{124}}{0.7903}=0.6224$
3.

Cual es el tiempo medio de compilacion de este programa?

La densidad es $f_{C}(x)=F^{\prime}_{C}(x)=\frac{3x^{2}}{124}$ para $x\in[1,5]$ .

$E(C)=\int_{1}^{5}x\frac{3x^{2}}{124}dx=\frac{3}{124}\left[\frac{x^{4}}{4}% \right]_{1}^{5}=\frac{3}{124}\cdot\frac{624}{4}=3.7742$
4.

Si se eligen al azar $10$ ordenadores del laboratorio, cuantos de ellos se espera que tarden mas de $3$ minutos en compilar JARS?

Sea $X\sim Bin(10,p)$ con $p=P(C>3)=0.7903$ . El valor esperado es $E(X)=10\cdot 0.7903=7.903$ .
5.

Si un operario del laboratorio tiene que seleccionar ordenadores hasta encontrar uno que tarde menos de $3$ minutos en compilar JARS, cuantos computadores se espera que tenga que revisar?

Sea $Y\sim Ge(p)$ con $p=P(C\leq 3)=1-0.7903=0.2097$ . El valor esperado es $E(Y)=\frac{1}{0.2097}\simeq 4.7692$ .

Example 30.7.

A dia de hoy, el tiempo que transcurre entre caidas consecutivas de la red electrica en Caracas, expresado en horas, es una variable aleatoria $T$ con funcion de densidad

f_{T}(x)=\begin{cases}0\quad\text{ para }x\leq 0\\ \kappa e^{-0.25x}\text{ para }x>0\end{cases}

donde $\kappa\in\mathbb{R}$ es una constante desconocida.

1.

Determinar el valor de la constante $\kappa$ para que $f_{T}$ sea una funcion de densidad.

$\int_{0}^{\infty}\kappa e^{-0.25x}dx=\left[\frac{\kappa e^{-0.25x}}{-0.25}% \right]_{0}^{\infty}=4\kappa=1\implies\kappa=0.25$
2.

Hallar la funcion de distribucion de $T$ ,

$F_{T}(z)=P(T\leq z)=\int_{0}^{z}0.25e^{-0.25x}dx=1-e^{-0.25z}\text{ para }z>0$
3.

Calcular la probabilidad de que entre dos apagones consecutivos transcurran entre una y dos horas.

$P(1<T<2)=F_{T}(2)-F_{T}(1)=(1-e^{-0.5})-(1-e^{-0.25})\simeq 0.1723$