26 Modelos discretos especiales

Las distribuciones binomial y geometrica estan relacionadas con el llamado Proceso de Bernoulli, que consiste en repeticiones independientes de un experimento con dos resultados posibles, a los que nos referiremos como exito y fracaso, en los que la probabilidad de exito es la misma en todas las repeticiones.

La distribucion de Poisson esta relacionada con otro tipo de proceso estocastico conocido como Proceso de Poisson.

26.1 Distribucion binomial

Consideremos un experimento aleatorio con dos resultados posibles, a los que nos referiremos como exito y fracaso. Llamemos

•

$p\in(0,1)$ a la probabilidad de exito
•

$q=1-p\in(0,1)$ a la probabilidad de fracaso

La repeticion de forma independiente de este experimento constituye lo que se conoce como un proceso de Bernoulli. Estos procesos permiten modelar muchos fenomenos de la vida real.

La distribucion binomial cuenta el numero de exitos ocurridos en $n$ realizaciones, independientes y con la misma probabilidad de exito, de un experimento de Bernoulli.

La situacion que modela la distribucion binomial es la siguiente:

•

Se considera un experimento con dos resultados posibles: exito o fracaso.
•

El experimento se repite, de manera independiente, $n$ veces.
•

La probabilidad de exito, $p$ , es la misma en cada repeticion.
•

La variable de interes es

$X=\text{numero de exitos en las }n\text{ repeticiones}$
•

La distribucion que sigue la variable aleatoria $X$ recibe el nombre de distribucion binomial con parametros $n$ y $p$ .
•

Lo denotaremos

$X\sim Bin(n,p)$

Sea $X$ una variable aleatoria con distribucion binomial, con $n$ repeticiones y probabilidad de exito $p$ ,

X\sim Bin(n,p)

Entonces:

•

El soporte de $X$ es

$S_{X}=\left\{0,1,2,3,\ldots,n-1,n\right\}$
•

La funcion de masa de probabilidad de la variable aleatoria $X$ es

$f_{X}(k)=P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^{k}\cdot(1-p)^{n-k}\cdot p^{k}\cdot q^{n-k}$

Proposition 26.1.

Sea $X$ una variable aleatoria con distribucion binomial,

X\sim Bin(n,p)

Entonces su esperanza es

E(X)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot k\cdot p^{k}\cdot(1-p)^{n-k}=np

Proof 26.2.

Sea $X\sim Bin(n,p)$ . Entonces

\displaystyle E(X)

\displaystyle{}=\sum_{k\in S_{X}}k\cdot P(X=k)=\sum_{k=0}^{n}k\cdot\binom{n}{k% }p^{k}(1-p)^{n-k}=\sum_{k=1}^{n}k\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot p^{k}\cdot(1-p)^{n-k}

\displaystyle{}=\sum_{k=1}^{n}\frac{n\cdot(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\cdot p\cdot p^% {k-1}\cdot(1-p)^{n-k}=np\sum_{k=1}^{n}\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}q^{n-1% -(k-1)}

\displaystyle{}=np\sum_{j=0}^{n-1}\frac{(n-1)!}{j!(n-1-j)!}p^{j}q^{n-1-j}=np(p% +q)^{n-1}=np

donde en el penultimo paso se ha aplicado el binomio de Newton.

Proposition 26.3.

Sea $X$ una variable aleatoria con distribucion binomial,

X\sim Bin(n,p)

Entonces su varianza es

V(X)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot k^{2}\cdot p^{k}\cdot(1-p)^{n-k}-n^{2}p^{% 2}=n\cdot p\cdot(1-p)

o lo que es lo mismo

V(X)=npq

26.2 Distribución geométrica

La distribucion geometrica modela el numero de veces que es necesario repetir un experimento de Bernoulli hasta obtener el primer exito.

Ahora en lugar de estar interesados por el numero de exitos en una cantidad fija de repeticiones $n$ estamos interesados en predecir el instante en el que se produce el primer exito.

La situacion a modear es la siguiente:

•

Se consideran repeticiones independientes de un experimento.
•

El experimento tiene dos resultados posibles: exito o fracaso.
•

La probabilidad de exito, $p$ , es la misma en cada repeticion.
•

La variable de interes es

$X=\text{``numero de repeticiones del experimento hasta obtener primer exito''}$

Diremos que la variable aleatoria $X$ sigue una distribucion geometrica con parametro $p$ , y lo denotaremos por $X\sim Ge(p)$ .

El soporte de cualquier variable $X$ con distribucion geometrica es

S_{X}=\mathbb{N}^{+}=\left\{1,2,3,\ldots\right\}

La funcion de masa de probabilidad de una variable geometrica con probabilidad de exito $p$ es

f_{X}(k)=\begin{cases}q^{k-1}p\text{ para }k=1,2,\ldots\\ 0\text{ para }k\notin\mathbb{N}^{+}\end{cases}

Proposition 26.4.

Sea $X$ una variable aleatoria con distribucion geometrica,

X\sim Ge(p)

Entonces su esperanza es

E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot q^{k-1}\cdot p=\frac{1}{p}

Proof 26.5.

Sea $X\sim Ge(p)$ . Entonces

\displaystyle E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot P(X=k)=p\sum_{k=1}^{\infty}kq^{k-% 1}==p\cdot S=p\frac{1}{p^{2}}=\frac{1}{p}

ya que

\displaystyle S

\displaystyle{}=1+2q+3q^{2}+4q^{3}+\cdots

\displaystyle qS

\displaystyle{}=\qquad q+2q^{2}+3q^{3}+\cdots

\displaystyle S-qS

\displaystyle{}=1+q+q^{2}+q^{3}+\cdots=\frac{1}{1-q}=\frac{1}{p}

y por tanto

S(1-q)=Sp=\frac{1}{p}\Rightarrow S=\frac{1}{p^{2}}

Proposition 26.6.

Sea $X$ una variable aleatoria con distribucion geometrica,

X\sim Ge(p)

Entonces su varianza es

V(X)=\sum_{k=1}^{\infty}k^{2}\cdot q^{k-1}\cdot p-\frac{1}{p^{2}}=\frac{1-p}{p% ^{2}}=\frac{q}{p^{2}}

La funcion de masa de la distribucion geometrica,

f_{X}(k)=P(X=k)=(1-p)^{k-1}p=q^{k-1}p

alcanza su maximo en $k=1$ y decrece con $k$ . El decrecimiento es mas rapido cuanto mayor sea $p$ .

Para este tipo de variables aleatorias, las probabilidades sobre lo que ocurra en el futuro no dependen de lo que haya ocurrido en el pasado.

Proposition 26.7.

Si $X\sim Ge(p)$ y $k,a\in\mathbb{N}^{+}$ , entonces

1.

$P(X=k+a\mid X>a)=P(X=k)$
2.

$P(X>k+a\mid X>a)=P(X>k)$
3.

$P(X\geq k+a\mid X>a)=P(X\geq k)$
4.

$P(X\leq k+a\mid X>a)=P(X\leq k)$
5.

$P(X<l+a\mid X>a)=P(X<k)$

Proof 26.8.

1.

$P(X=k+a\mid X>a)=\frac{P(X=k+a)}{P(X>a)}=\frac{pq^{k+a-1}}{q^{a}}=pq^{k-1}=P(X% =k)$
5.

$P(X<k+a\mid X>a)=\frac{P(a<X<k+a)}{P(X>a)}=\frac{P(X>a)-P(X\geq k+a)}{q^{a}}=% \frac{P(X>a)-P(X>k+a-1)}{q^{a}}=\frac{q^{a}-q^{a+k-1}}{q^{a}}=1-q^{k-1}=P(X<k)$ .

…

Se dice por ello que la distribucion geometrica no tiene memoria. Es la unica de las distribuciones discretas que verifica esta propiedad.

26.3 Distribución de Poisson

En ocasiones nos encontramos con variables que representan el numero de sucesos que ocurren en un determino periodo de tiempo, como por ejemplo el numero de cebras que acuden a beber a un arroyo en una hora, el numero de visitas diarias a una pagina web, o el numero de averias anuales de un ascensor.

Muchas veces estos sucesos van apareciendo a lo largo del tiempo de manera independiente y con una intensidad constante.

La distribucion de Poisson proporciona un modelo adecuado para el numero de ocurrencias independientes de un suceso en situaciones en las que la intensidad de ocurrencias se mantiene estable.

En muchas ocasiones lo que se quiere modelar son procesos de llegada. Esta distribucion depende de un unico parametro: el numero medio de ocurrencias del suceso en ese intervalo de tiempo. Denotaremos por $\lambda$ a dicho parametro.

Llamemos $X$ al numero de apariciones del suceso en el intervalo de tiempo que estemos considerando. El soporte de una variable de este tipo es

S_{X}=\mathbb{N}\cup\left\{0\right\}=\left\{0,1,2,3,\ldots\right\}

La distribucion de Poisson se obtiene como limite de la binomial cuando el numero de repeticiones tiende a infinito, la probabilidad de exito tiende a cero y el numero medio de exitos se estabiliza alrededor de un numero $\lambda$ . Calculando dicho limite se obtiene

P(X=k)=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}\text{ para }k=0,1,2,\ldots

Esta es la funcion de masa de probabilidad de una distribucion de Poisson con parametro $\lambda$ . Abreviadamente lo escribiremos $X\sim Po(\lambda)$ .

Evidentemente, la esperanza de una variable $X\sim Po(\lambda)$ es $\lambda$ :

E(X)=\lambda

Ademas, puede probarse que su varianza es

V(X)=\lambda

Remark 26.9.

Las variables aleatorias de la familia de Poisson son las unicas en las que la esperanza y la varianza coinciden.

Example 26.10.

El numero de ataques de leonas que sufre una manada de gacelas sigue una distribucion de Poisson con una media de $2$ ataques diarios.

Tenemos que $N_{d}=$ numero de ataques en $d$ dias $\sim Po(2d)$ .

1.

Calcular la probabilidad de que se produzcan 3 ataques en un dia.

$P(N_{1}=3)=e^{-2}\frac{2^{3}}{3!}$
2.

Hallar la probabilidad de que no ocurra ningun ataque en 12 horas.

$P(N_{1/2}=0)=e^{-1}\frac{-1^{0}}{0!}=\frac{1}{e}$
3.

Cual es la probabilidad de que en dos dias consecutivos haya menos de $3$ ataques?

Se tiene $N_{2}\sim Po(4)$ . Por tanto,

$P(N_{2}<3)=e^{-4}+e^{-4}\cdot 4+e^{-4}\cdot\frac{4^{2}}{2!}=0.2381$
4.

Determinar la probabilidad de que ocurra algun ataque en $36$ horas.

Se tiene $N_{\frac{3}{2}}\sim Po(3)$ y por tanto la probabilidad de que se produzca algun ataque en $36$ horas es

$P(N_{1.5}\geq 1)=1-P(N_{1.5}=0)=1-e^{-3}\cdot\frac{3^{0}}{0!}=1-e^{-3}=0.9502$
5.

Cual es la probabilidad de que en una semana se produzcan $12$ ataques?

$P(N_{7}=12)=e^{-14}\cdot\frac{14^{12}}{12!}=0.0984$
6.

Si se acaba de producir un ataque, cual es la probabilidad de que transcurran mas de 24 horas hasta el siguiente?

$P(N_{1}=0)=e^{-2}\cdot\frac{2^{0}}{0!}=e^{-2}$

La funcion de masa de la distribucion de Poisson es asimétrica a la derecha.

Proposition 26.11.

Sea $\lambda\in\mathbb{R}^{+}$ . Consideremos una sucesion de variables aleatorias $\left\{X_{n}\right\}$ , con distribucion

X_{n}\sim Bin(n,\frac{\lambda}{n})

Entonces, para todo $k\in\mathbb{N}\cup\left\{0\right\}$ se verifica

\lim\limits_{n\to\infty}P(X_{n}=k)=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}

Example 26.12.

El numero de clientes que acuden a una tienda de videojuegos sigue una distribucion de Poisson con una media de $2$ clientes por hora.

1.
Hallar la probabilidad de que entre las $10:30$ y las $11:30$
1. (a)
  
  llegue a este establecimiento algun cliente
2. (b)
  
  acuda un unico cliente
Sea $N_{1}\sim Po(2)$ .
1. (a)
  
  $P(N_{1}\geq 1)=1-P(N_{1}=0)=1-e^{-2}\simeq 0.8647$
2. (b)
  
  $P(N_{1}=1)=e^{-2}\frac{2^{1}}{1!}=2e^{-2}\simeq 0.2707$
2.

Si en la ultima hora ha entrado a la tienda al menos un cliente, cual es la probabilidad de que haya sido exactamente uno?

$P(N_{1}=1\mid N_{1}\geq 1)=\frac{P(N_{1}=1)}{P(N_{1}\geq 1)}=\frac{2e^{-2}}{1-% e^{-2}}\simeq 0.3130$
3.

Acaba de entrar en la tienda un cliente. Cual es la probabilidad de que transcurra menos de media hora hasta que llegue el siguiente?

Sea $T\sim Exp(2)$ .

$P(T<0.5)=1-e^{-2\cdot 0.5}=1-e^{-1}\simeq 0.6321$