31 Modelos continuos especiales

Vamos a analizar tres de las familias de distribuciones continuas que aparecen con mayor frecuencia: la distribución uniforme, la exponencial y la normal o gaussiana.

31.1 Distribución uniforme

Consideremos dos numeros reales, $a$ y $b$ , con $a<b$ .

La variable aleatoria $X$ sigue distribucion uniforme en el intervalo $(a,b)$ si su funcion de densidad es

f_{X}(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}\text{ si }a<x<b\\ 0\text{ en el resto}\end{cases}

De forma abreviada esto se denota

X\sim U(a,b)

La densidad de una variable uniforme es constante a lo largo de su soporte. Por consiguiente, la probabilidad de que el valor de $X$ este comprendido en un subintervalo de $(a,b)$ depende unicamente de la longitud del mismo, pero no de su posicion.

Se puede comprobar, usando areas de rectangulos, que la funcion de distribucion es

F_{X}(t)=P(x\leq t)=\int^{t}_{-\infty}\frac{1}{b-a}dx=\begin{cases}0\text{ si % }x<a\\ \frac{t-a}{b-a}\text{ si }a\leq x\leq b\\ 1\text{ si }x>b\end{cases}

La esperanza es

E(X)=\int^{b}_{a}\frac{x}{b-a}dx=\frac{a+b}{2}

es decir, el punto medio del intervalo.

En cuanto a la varianza de la distribucion, viene dada por

V(X)=\int^{b}_{a}\frac{x^{2}}{b-a}dx-\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}=\frac{% \left(b-a\right)^{2}}{12}

Example 31.1.

Un coche recorre con velocidad constante el tramo que va desde el kilometro $15$ hasta el kilometro $25$ de cierta manera. Sea

C=\text{posicion del coche en un instante elegido al azar}

expresada en kilometros.

1.

Que distribucion tiene la variable $C$ ? Cual es su funcion de densidad? Y su funcion de distribucion?

$C\sim U(15,25)$ . Su densidad es $f_{C}(x)=\frac{1}{10}$ en $[15,25]$ . Su funcion de distribucion es $F_{C}(x)=\frac{x-15}{10}$ en $[15,25]$ .
2.

Cual es la probabilidad de que en un instante aleatorio el coche se encuentre entre el kilometro $18$ y el $22$ ?

$P(18<C<22)=\frac{22-18}{10}=0.4$
3.

Cual es el valor esperado de $C$ ?

$E(C)=\frac{15+25}{2}=20$

31.2 Distribución exponencial

Definition 31.2.

Sea $\lambda>0$ un número real positivo.

Se dice que la variable aleatoria $T$ sigue una distribución exponencial de intensidad $\lambda>0$ , y se denota $T\sim Exp(\lambda)$ , si su función de densidad es

f_{T}(x)=\begin{cases}0\quad\text{ para }x\leq 0\\ \lambda e^{-\lambda x}\text{ para }x>0\end{cases}

Example 31.3.

El tiempo (en minutos) que transcurre entre la llegada de un trabajo a un servidor y la siguiente se distribuye según una variable exponencial con intensidad $\lambda=1/6$ .

1.

Cual es la probabilidad de que pasen más de 10 minutos entre la llegada de dos trabajos consecutivos?
2.

Acaba de llegar un trabajo al servidor en este instante, cual es la probabilidad de que llegue otro en menos de $4$ minutos?

Solucion: Sea $X$ el tiempo (medido en minutos) transcurrido entre dos llegadas consecutivas. Puesto que $X\sim Exp(\lambda=1/6)$ ,

1.

$P(X>10)=\int^{+\infty}_{10}\frac{1}{6}e^{-\frac{x}{6}}dx=\left[-e^{\frac{x}{6}% }\right]^{\infty}_{10}=e^{-\frac{10}{6}}=0.1889$
2.

$P(X<4)=\int^{4}_{0}\frac{1}{6}e^{-\frac{x}{6}}dx=\left[-e^{-\frac{x}{6}}\right% ]^{4}_{0}=1-e^{-\frac{4}{6}}=0.4866$

La funcion de distribucion del tiempo en minutos que pasa entre la llegada de un trabajo y la del siguiente en el servidor del Ejercicio $22$ es

F_{X}(x)=\begin{cases}0\qquad\text{ si }x\leq 0\\ 1-e^{-\frac{x}{6}}\text{ si }x>0\end{cases}

Esta funcion nos permite calcular de forma mas sencilla las probabilidades requeridas:

1.

$P(X>10)=1-F_{X}(10)=e^{-\frac{10}{6}}=0.1889$
2.

$P(X<4)=F_{X}(4)=1-e^{-\frac{4}{6}}=0.4866$

Example 31.4.

Sea $T$ una variable con distribución exponencial de intensidad $\lambda$ :

T\sim Exp(\lambda)

Demostrar que su función de distribución es

F_{T}(z)=\begin{cases}0\qquad\text{ si }z\leq 0\\ 1-e^{-\lambda z}\quad\text{ si }z>0\end{cases}

Para $z\leq 0$ , $F_{T}(z)=\int_{-\infty}^{z}0\,dx=0$ . Para $z>0$ , $F_{T}(z)=\int_{0}^{z}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\left[-e^{-\lambda x}\right]_{% 0}^{z}=1-e^{-\lambda z}$ .

Integrando por partes se obtiene que, para una variable aleatoria $T$ con distribucion $T\sim Exp(\lambda)$ , la esperanza es

E(T)=\int^{\infty}_{0}x\lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda}

Ademas, integrando dos veces por partes se puede demostrar que la varianza de $T$ es

V(T)=\int^{\infty}_{0}x^{2}\lambda e^{-\infty x}dx-\left(\frac{1}{\lambda}% \right)^{2}=\frac{1}{\lambda^{2}}

y por tanto su desviacion tipica es

\sigma_{T}=\frac{1}{\lambda}

Las variables aleatorias de la familia exponencial son las unicas para las que la desviacion tipica coincide con la esperanza.

La siguiente proposicion puede entrar en el examen.

Proposition 31.5.

Supongamos que el numero de ocurrencias de un suceso, $N$ , sigue una distribución de Poisson, y que el número esperado de ocurrencias por unidad de tiempo es $\lambda$ ,

N\sim Po(\lambda)

Entonces, los tiempos entre llegadas, $T$ , siguen una distribucion exponencial, con el mismo parametro $\lambda$ ,

T\sim Exp(\lambda)

Proof 31.6.

Sea $N=$ numero de llegadas $1$ unidad $\sim Po(\lambda)$ , $N_{t}=$ numero de llegadas en $t$ unidades $\sim Po(\lambda t)$ y $T=$ tiempo entre llegadas. Entonces

P(T>t)=P(N_{t}=0)=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^{0}}{0!}=e^{-\lambda t}

y 1

F_{T}(t)=P(T\leq t)=\begin{cases}0\quad\text{si }t<0\\ 1-e^{-\lambda t}\text{ si }t\geq 0\end{cases}

Example 31.7.

El numero de intentos de entradas ilegales recibidas por un servidor sigue una distribucion de Poisson con una media de $6$ intentos diarios.

Cual es la probabilidad de que el tiempo entre dos intentos consecutivos sea de al menos $6$ horas? Y la de que sea de menos de $18$ horas?

Sea $N_{t}=$ numero de intentos de entradas ilegales recibidas en $t$ dias.

Se tiene que $N_{t}\sim Po(6t)$ . Por tanto, la variable

D=\text{ tiempo (en dias) entre dos intentos ilegales consecutivos}

sigue una distribución $Exp(6)$ . Por consiguiente,

\displaystyle P\left(D\geq\frac{1}{4}\right)

\displaystyle{}=e^{-\frac{6}{4}}=e^{-\frac{3}{2}}=0.2231

\displaystyle P\left(D<\frac{3}{4}\right)

\displaystyle{}=1-e^{-\frac{18}{4}}=1-e^{-\frac{9}{2}}=0.9889

Example 31.8.

La duracion de cierto tipo de bombillas sigue una distribucion exponencial con una media de $8$ meses.

Llamemos $D$ a la duracion de este tipo de bombillas expresada en meses, que es una vasriable aleatoria con distribucion $D\sim Exp(\lambda=\frac{1}{8})$ .

1.

Hallar la probabilidad de que una bombilla de este tipo dure más de $15$ meses.

$P(D>15)=e^{-15/8}=0.1533$
2.

Calcular la probabilidad de que una de estas bombillas tenga un tiempo de vida entre $3$ y $12$ meses.

$P(3<D<12)=e^{-3/8}-e^{-12/8}=0.4642$
3.

Hallar la probabilidad de que una bombilla que ha durado ya $10$ meses dure al menos $15$ meses mas.

$P(D>25\mid D>10)=\frac{P(D>25)}{P(D>10)}=\frac{e^{-25/8}}{e^{-10/8}}=e^{-15/8}% =0.1533$

Observemos que esta probabilidad coincide con la de que la duracion total de una bombilla supere los $15$ meses.
4.

Hallar la probabilidad de que una bombilla que ha durado ya $20$ meses dure entre $23$ y $32$ meses.

$P(23<D<32\mid D>20)=\frac{P(23<D<32)}{P(D>20)}=\frac{e^{-23/8}-e^{-32/8}}{e^{-% 20/8}}=e^{-3/8}-e^{-12/8}=0.4642$

Notese que esto coincide con la probabilidad de que una bombilla tenga una duracion total de entre $3$ y $12$ meses.

El ejemplo anterior ilustra la falta de memoria de la distribucion exponencial.

Proposition 31.9.

Si $T\sim Exp(\lambda)$ , entonces $\forall u,v,k\in\mathbb{R}^{+}$ con $v\leq k$ se verifica

1.

$P(T>u+v\mid T>u)=P(T>v)$ ,
2.

$P(T<u+v\mid T>u)=P(T<v)$
3.

$P(u+v<T<u+k\mid T>u)=P(v<T<k)$

Proof 31.10.

1.

$P(T>u+v\mid T>u)=\frac{P(T>u+v)}{P(T>u)}=\frac{e^{-\lambda(u+v)}}{e^{-\lambda u% }}=e^{-\lambda v}=P(T>v)$

Example 31.11.

El tiempo que transcurre entre las llegadas de clientes a un taller sigue una distribucion exponencial con media $20$ minutos.

Consideremos la variable aleatoria $T=$ tiempo transcurrido entre dos llegadas consecutivas de clientes, medido en minutos. $T$ sigue una distribucion exponencial. Puesto que $E(T)=20$ , la intensidad de llegadas por minuto es

\lambda=\frac{1}{E(T)}=\frac{1}{20}

por lo que $T\sim Exp(\frac{1}{20})$

1.

El encargado del taller lo cierra durante $5$ minutos para ir a tomar cafe. Cual es la probabilidad de que llegue algun cliente durante este tiempo?

$P(T<5)=1-e^{-\frac{5}{20}}=0.2212$
2.

Si el encargado sale todos los dias de una semana (de lunes a sabado) para tomar cafe durante $5$ minutos cada dia, cual es la probabilidad de que alguno de esos $6$ dias llegue algun cliente al taller durante su ausencia?

$P(T<30)=1-e^{-\frac{30}{20}}=1-e^{-1.5}=0.7769$
3.

En los ultimos $20$ minutos no ha llegado ningun cliente. Calcular la probabilidad de que a partir de ese momento transcurran menos de $8$ minutos hasta la llegada del proximo cliente.

Puesto que la distribucion exponencial no tiene memoria,

$P(T<28\mid T>20)=P(T<8)=1-e^{-\frac{8}{20}}=0.3297$
4.

Hallar la probabilidad de que en la ultima hora de la jornada acudan al taller exactamente $4$ clientes.

Dado que la distribucion del tiempo entre llegadas, $T$ , es

$T\sim Exp\left(\frac{1}{20}\right)$

se tiene que la distribucion de cada variable aleatoria

$N_{m}=\text{ numero de clientes que llegan al taller en }m\text{ minutos}$

es

$N_{m}\sim Po\left(\frac{m}{20}\right)$

En particular, la distribucion de la variable $N_{60}$ es $N_{60}\sim Po(3)$ . Por lo tanto,

$P(N_{60}=4)=e^{-3}\cdot\frac{3^{4}}{4!}=0.1680$
5.

Calcular la probabilidad de que en el ultimo cuarto de hora acuda algun cliente.

La distribucion de la variable $N_{15}$ es $N_{15}\sim Po(0.75)$ . Luego,

$P(N_{15}\geq 1)=1-P(N_{15}=0)=1-e^{-0.75}=0.5276$
6.

Supongamos que el taller abre cada dia laborable de $10$ a $14$ y de $17$ a $20.30$ horas. Cuantos clientes se espera que acudan en una jornada laborable?

El numero total de minutos laborables por semana es

$6\cdot 7.5\cdot 60=2700\text{ minutos}$

y por tanto la distribucion del numero de llegadas semanales de clientes es

$N_{2700}\sim Po\left(\frac{2700}{20}\right)=Po(135)$

luego su valor esperado es $E(N_{2700})=135$ clientes.

31.3 Distribución normal

El soporte de la distribucion normal es toda la recta real $\mathbb{R}$ . Esta distribucion depende de dos parametros: su media o esperanza $(\mu)$ y su varianza ( $\sigma^{2}$ ).

Su variable aleatoria $X$ sigue una distribucion normal de media $\mu$ y varianza $\sigma^{2}$ , entonces su funcion de densidad es

f_{X}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\right)

para todo $x\in\mathbb{R}$ . De forma abreviada esto se denota

X\sim N(\mu,\sigma^{2})

La distribucion normal es simetrica con respecto a $\mu$ , y por tanto su mediana es tambien $\mu$ . La funcion de densidad de la distribucion normal presenta esa forma acampanada que se conoce como campana de Gauss.

Una propiedad importante de las distribuciones normales es que, al alicarles una transformacion lineal, se obtiene otra distribucion normal.

Es decir, si $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ y $a,b\in\mathbb{R}$ , entonces la variable aleatoria

Y=aX+b

tambien sigue una distribucion gaussiana.

Las propeidades de la esperanza y la varianza implican que

\displaystyle E(Y)

\displaystyle{}=E(aX+b)=aE(X)+b=a\mu+b,

\displaystyle V(Y)

\displaystyle{}=V(aX+b)=a^{2}V(X)=a^{2}\sigma^{2}

Por tanto,

X\sim N(\mu,\sigma^{2})\Rightarrow Y=aX+b\sim N(a\mu+b,a^{2}\sigma^{2})

Example 31.12.

La temperatura de Charagua (Bolivia), expresada en grados centigrados, sigue una distribucion normal con una media de $20^{\circ}$ y una varianza de $20^{\circ}C^{2}$ ,

C\sim N(\mu=20,\sigma^{2}=25)

Llamemos $F$ a la ariable aleatoria que recoge la temperatura de esa misma localidad expresada en grados Fahrenheit.

Cual es la distribucion de la variable $F$ ?

Puesto que $F=1.8\cdot C+32$ , la distribucion de $F$ tambien es gaussiana. Sus parametros son

\displaystyle E(F)

\displaystyle{}=E(1.8\cdot C+32)=1.8\cdot E(C)+32=1.8\cdot 20+32=68,

\displaystyle V(F)

\displaystyle{}=V(1.8\cdot C+32)=1.8^{2}\cdot V(C)=1.8^{2}\cdot 25=81

Luego la distribucion que sigue $F$ es $F\sim N(\mu=68,\sigma^{2}=81)$

Proposition 31.13.

Si $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ , entonces, la distribucion de la variable aleatoria $Z$ , definida como

Z=\frac{X-\mu}{\sigma}

Z\sim N(0,1)

Proof 31.14.

Recordemos que si $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ , y consideramos cualquier transformacion lineal de $X$ ,

Y=aX+b

con $a,b\in\mathbb{R}$ , entonces la variable aleatoria $Y$ tambien sigue una distribucion gaussiana, concretamente

Y=aX+b\sim N(a\mu+b,a^{2}\sigma^{2})

Consideremos ahora, en particular, la distribucion de la variable aleatoria $Z$ , definida como

Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{1}{\sigma}X-\frac{\mu}{\sigma}

No olvidemos que $\mu=E(X)$ y $\sigma=\sqrt{V(X)}$ son constantes, por lo que $Z$ es una transformacion lineal de $X$ , y en consecuencia $Z$ sigue una distribucion normal. Ademas, $Z$ tiene media

E(Z)=\frac{1}{\sigma}E(X)-\frac{\mu}{\sigma}=\frac{\mu}{\sigma}-\frac{\mu}{% \sigma}=0

y varianza

V(Z)=\frac{1}{\sigma^{2}}V(X)=\frac{\sigma^{2}}{\sigma^{2}}=1

Por tanto,

Z\sim N(0,1)

A la distribucion $N(0,1)$ se le llama normal estandar o normal tipificada, y habitualmente se denota por $Z$ .

Example 31.15.

Consideremos la variable $C$ que recoge la temperatura de Charagua en grados centigrados, cuya distribucion es normal con media $20^{\circ}$ C y varianza $25^{\circ}\mathrm{C}^{2}$ ,

C\sim N(\mu=20,\sigma^{2}=25)

La distribucion de la variable aleatoria

Z=\frac{C-20}{5}

es una normal estandar

Z=\frac{C-20}{5}\sim N(0,1)

La funcion de densidad de la normal estandar es

f_{Z}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2}

La funcion de densidad de la normal estandar es simetrica respecto a $0$ , es decir, verifica $f_{Z}(x)=f_{Z}(-x)$ para todo $x$ , lo cual implica que

P(Z\in A)=P(Z\in-A)

Asi, por ejemplo, $P(Z\geq 2)=P(Z\leq-2)$ , $P(Z<1)=P(Z>-1)$ , $P(1<Z<3)=P(-3<Z<-1)$ , etc.

Example 31.16.

Supongamos que queremos calcular la probabilidad de que en un determinado momento la temperatura en Charagua este entre los $22$ y los $25$ grados.

Puesto que la distribucion de esta variable aleatoria es $C\sim N(\mu=20,\sigma^{2}=25)$ , su funcion de densidad es

f_{X}(x)=\frac{1}{5\sqrt{2\pi}}e^{-(x-20)^{2}/50}

Por tanto, la probabilidad que buscamos vendra dada por

P(22\leq C\leq 25)=\frac{1}{5\sqrt{2\pi}}\int^{25}_{22}e^{-(x-20)^{2}\ 50}dx

El problema es que la integral que aparece en la formula del ejemplo anterior solo puede aproximarse por metodos numericos. No obstante, muchos programas permiten calcular probabilidades relativas a la normal estandar.

La funcion de distribucion de la normal estandar, que se denota $\phi$ , es

\phi(z)=P(Z\leq z)=\int^{z}_{-\infty}f_{Z}(t)dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{z}_% {-\infty}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt

La integral que aparece en esta formula no tiene expresion explicita, pero trabajaremos con una tabla que incluye $\phi(z)$ para $z\geq 0$ .