28 Función de densidad. Probabilidades

Puesto que $P(X=k)=0$ para todo $k\in\mathbb{R}$ no podemos describir la distribucion de probabilidades de $X$ mediante una funcion de masa.

Supongamos que se dispone de $n$ realizaciones de una variable aleatoria continua $X$. Estos valores se pueden representar en un histograma de frecuencias relativas.

Si se hace crecer $n$, es decir, si se toman cada vez mas realizaciones de $X$, y se presentan en un histograma con intervalos cada vez mas pequeños, el histograma tiende a una curva suave que describe la distribucion de la variable. Esta curva limite recibe el nombre de funcion de densidad, y la denotaremos por $f_{X}$.

La funcion de densidad verifica las siguientes propiedades:

1. 1.
   ​

   Es una funcion no negativa, es decir, $f_{X}(x)\geq 0$ para todo $x$.

2. 2.
   ​

   La integral de $f_{X}$ a lo largo de su soporte es $1$, es decir,

   $$\int_{S_{X}}f_{X}(x)dx=1$$

   Esto supone que el area que deja por debajo $f_{X}$ siempre es $1$.

La funcion de densidad de una variable continua $X$ permite calcular cualquier probabilidad acerca de dicha variable como un area:

En particular, para $[a,b]$, se tiene que

Para las variables continuas, la probabilidad de cualquier punto $a\in\mathbb{R}$ es cero, ya que

Por consiguiente, la probabilidad de un intervalo sera la misma si es abierto que si es cerrado por cualquiera de sus extremos, pues los extremos son puntos y por tanto tienen probabilidad nula.

Las probabilidades calculadas a partir de una funcion de densidad verifican los axiomas de Kolmogorov:

1. 1.
   ​

   La probabilidad de cualquier suceso es no negativa.

2. 2.
   ​

   La probabilidad del suceso seguro es $1$:

   $$P(X\in\mathbb{R})=P(-\infty<X<\infty)=\int^{\infty}_{-\infty}f_{X}(x)dx=\int_{S_{X}}f_{X}(x)dx=1$$
3. 3.
   ​

   Si $A_{1}$ y $A_{2}$ son disjuntos entonces

   $\displaystyle P(X\in A_{1}\cup A_{2})$

   $\displaystyle{}=\int_{A_{1}\cup A_{2}}f_{X}(x)dx$

   $\displaystyle{}=\int_{A_{1}}f_{X}(x)dx+\int_{A_{2}}f_{X}(x)dx$

   $\displaystyle{}=P(X\in A_{1})+P(X\in A_{2})$