25 Esperanza y varianza de variables aleatorias discretas

Definición III.7.

La esperanza, o media, o valor esperado de una variable aleatoria discreta $X$ se define como

E(X)=\sum_{k\in S_{X}}k\times P(X=k)

o lo que es lo mismo

E(X)=\sum_{k\in S_{X}}k\times f_{X}(k)

Si pensamos en la probabilidad como en una masa total de $1$ repartida entre los puntos del soporte, $E(X)$ es el punto donde se encuentra el centro de gravedad o punto de equilibrio de la distribucion de probabilidad de $X$ .

Es habitual denotar $E(X)$ por $\mu_{X}$ , o simplemente por $\mu$ .

Ejemplo III.3.

Vamos a calcular el valor esperado de la variable aleatoria

X=\text{numero de caras}

en el triple lanzamiento de la moneda equilibrada. Recordemos que el soporte y la funcion de masa de $X$ son

X=\begin{pmatrix}0&1&2&3\\ \frac{1}{8}&\frac{3}{8}&\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\\ \end{pmatrix}

Por consiguiente la esperanza de $X$ es

E(X)=0\cdot\frac{1}{8}+1\cdot\frac{3}{8}+2\cdot\frac{3}{8}+3\cdot\frac{1}{8}=% \frac{12}{8}=1{,}5\text{ caras}

Proposición III.2.

Si $X$ es una variable aleatoria y $a,b\in\mathbb{R}$ son constantes, entonces se verifica

E(aX)=aE(X)

E(X+b)=E(X)+b

y por consiguiente

E(aX+b)=aE(X)+b

o, escrito abreviadamente,

\mu_{aX+b}=a\mu_{X}+b

Demostración.

E(aX+b)=\sum_{x\in S_{X}}(ak+b)P(X=k)=a\sum_{k\in S_{x}}k\cdot P(X=k)+b\sum_{k% \in S_{x}}P(X=k)=aE(x)+b

∎

La esperanza es por tanto un operador lineal.

Definición III.8.

La varianza de una variable aleatoria se define como

V(X)=E([X-E(X)]^{2})

$V(X)$ es una medida de la dispersion de $X$ alrededor de su centro de gravedad, $E(X)$ . Es comun denotar $V(X)$ por $\sigma^{2}_{X}$ o simplemente por $\sigma^{2}$ .

Para las variables aleatorias discretas, la varianza puede calcularse mediante la formula

V(X)=\sum_{k\in S_{x}}(k-\mu_{X})^{2}f_{X}(k)

Notese que las unidades de la varianza son el cuadrado de las unidades de la variable aleatoria.

Proposición III.3.

Para cualquier variable aleatoria $X$ , una expresion alternativa para su varianza es

V(X)=E(X^{2})-E^{2}(X)

o, escrito abreviadamente,

\sigma^{2}_{X}=E(X^{2})-\mu^{2}_{X}

Demostración.

{}V(X)=E[(X-\mu)^{2}]=E[X^{2}+\mu^{2}-2\mu X]=E(x^{2})+E(\mu^{2})-2E(\mu X)\\ {}=E(x^{2})+\mu^{2}-2\mu E(X)=E(X^{2})-\mu^{2}_{X}

∎

Luego, para las variables discretas, la varianza tambien puede calcularse como

\sigma^{2}_{X}=\sum_{k\in S_{X}}k^{2}f_{X}(k)-\mu^{2}_{X}

Ejemplo III.4.

Calculemos la varianza de la variable aleatoria $X=$ numero de caras en el triple lanzamiento de la moneda equilibrada.

X=\begin{pmatrix}0&1&2&3\\ \frac{1}{8}&\frac{3}{8}&\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\\ \end{pmatrix}

\displaystyle E(X)

\displaystyle{}=0\cdot\frac{1}{8}+1\cdot\frac{3}{8}+2\cdot\frac{3}{8}+3\cdot% \frac{1}{8}=\frac{12}{8}=1{,}5\text{ caras}

\displaystyle E(X^{2})

\displaystyle{}=0^{2}\cdot\frac{1}{8}+1^{2}\cdot\frac{3}{8}+2^{2}\cdot\frac{3}% {8}+3^{2}\cdot\frac{1}{8}=\frac{24}{8}=3\text{ caras}^{2}

y por tanto la varianza de esta variable es

V(X)=E(X^{2})-E^{2}(X)=3-1{,}5^{2}=0{,}75\text{ caras}^{2}

Proposición III.4.

Si $X$ es una variable aleatoria y $a,b\in\mathbb{R}$ son constantes, entonces se verifica

V(aX+b)=a^{2}V(X)

o, escrito abreviadamente,

\sigma^{2}_{aX+b}=a^{2}\sigma^{2}_{X}

Definición III.9.

La desviacion tipica de una variable aleatoria $X$ , $\sigma_{X}$ , es la raiz cuadrada de su varianza, esto es,

\sigma_{X}=\sqrt{\sigma^{2}_{X}}=\sqrt{V(X)}

Las unidades de la varianza son el cuadrado de las unidades en las que este medida la variable aleatoria. En cambio la desviacion tipica tiene las mismas unidadesque la variable aleatoria a la que corresponde.