24 Funcion de distribucion de una variable aleatoria discreta

Definition 24.1.

Dado un espacio probabilístico $(\Omega,\mathscr{A},P)$ y una variable aleatoria $X$ , se define su funcion de distribucion,

F_{X}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

como

F_{X}(x)=P_{X}(-\infty,x]=P(X^{-1}(-\infty,x])=P(\omega\in\Omega\colon X(% \omega)\leq x)=P(X\leq x)

Es decir, la funcion de distribucion es una funcion de probabilidad acumulada.

La funcion de distribucion la caracteriza completamente una variable aleatoria. En el caso discreto esto supone que determina perfectamente su soporte y su funcion de masa de probabilidad.

Example 24.2.

Determinar la funcion de distribucion de la v. al.

X=\text{numero de caras}

en el triple lanzamiento de una moneda equilibrada. Representar graficamente esta funcion y analizar sus propiedades.

La expresion de la funcion de distribucion de la variable es

F_{X}(t)=P(X\leq t)=\begin{cases}0\text{ si }t<0\\ 0.125\text{ si }0\leq t<1\\ 0.5\text{ si }1\leq t<2\\ 0.875\text{ si }2\leq t<3\\ 1\text{ si }t\geq 3\end{cases}

Example 24.3.

Estudios recientes han confirmado que las gaviotas que anidan en zonas costeras cercanas a las fabricas de acero estan experimentando sorprendentes mutaciones.

Entre otras anomalias, el numero de dedos que tienen (contando ambas patas) varia de unos ejemplares a otros, siendo una variable aleatoria, $D$ , con funcion de distribucion

F_{D}(x)=\begin{cases}0\text{ si }x<6\\ 0.1\text{ si }6\leq x<8\\ 0.5\text{ si }8\leq x<9\\ 0.8\text{ si }9\leq x<10\\ 1\text{ si }x\geq 10\end{cases}

Un equipo investigador se instala en una playa situada en las proximidades de una fabrica de acero en la cual hay una enorme cantidad de gaviotas y las selecciona aleatoriamente para estudiar el numero de dedos que presentan.

D=\begin{pmatrix}6&8&9&10\\ 0.1&0.4&0.3&0.2\\ \end{pmatrix}

1.

Hallar la probabilidad de que una gaviota elegida al azar en esta zona tenga una cantidad par de dedos.

$P(D\text{ par})=P(D=6)+P(D=8)+P(D=10)=0.1+0.4+0.2=0.7$
2.

Se ha comprobado que una de las gaviotas capturadas en esta playa tiene menos de $10$ dedos. Cual es la probabilidad de que tenga un numero par de dedos?

$P(D\text{ par}\mid D\leq 10)=\frac{0.5}{0.8}=0.625$
3.

Hasta ahora los investigadores han capturado en este area un total de $10$ gaviotas. Calcular la probabilidad de que $2$ de ellas tengan una cantidad impar de dedos y el resto una cantidad par.

$P(2\text{ par Resto impar})=0.3^{2}\cdot 0.7^{8}\cdot\binom{10}{2}=0.2334$
4.

Tras finalizar el estudio anterior, los miembros del equipo de investigacion necesitan analizar las caracteristicas de una gaviota que tenga un numero impar de dedos, para lo cual seleccionan gaviotas de manera aleatoria, cuentan sus dedos y, en caso de que sean una cantidad par, las dejan en libertad.

Cual es la probabilidad de que tengan que capturar exactamente 5 gaviotas hasta dar con una que tenga un numero impar de dedos?

$P(5\text{ gaviotas y ultima impar})=0.7^{4}\cdot 0.3=0.07203$