23 Variables aleatorias discretas

Definition 23.1.

Se dice que una variable aleatoria, $X$ , es discreta, si existe un conjunto numerable de puntos, $\left\{k_{n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{R}$ tal que

\sum_{n\in\mathbb{N}}P(X=k_{n})=1

Para las variables aleatorias discretas el soporte es siempre un conjunto numerable.

Definition 23.2.

Se define la funcion de masa de probabilidad de una variable aleatoria $X$ como la funcion, $f_{X}$ , que indica la probabilidad de que $X$ tome cada uno de sus valores, es decir,

\displaystyle f_{X}\colon\mathbb{R}

\displaystyle{}\longrightarrow(0,1)

\displaystyle K

\displaystyle{}\longmapsto f_{X}(K)=P(X=k)=P(\left\{\omega\in\Omega\mid X(% \omega)=k\right\})

Obviamente, si $k$ no es uno de los valores que puede tomar $X$ , entonces $f_{X}(k)=0$ , es decir,

k\notin S_{X}\Rightarrow f_{X}(k)=P(X=k)=0

La funcion de masa de probabilidad se puede representar graficamente mediante un diagrama de barras.

Para facilitar los calculos, reuslta util expresar el soporte y la funcion de masa de una variable discreta mediante una matriz de dos filas. En la fila de arriba se coloca el soporte de la variable con sus elementos ordenados de menor a mayor, y en la fila de abajo la probabilidad de cada punto.

Proposition 23.3.

1.

La función de masa es no negativa, es decir,

$f_{X}(k)\geq 0$

para cualquier $k\in\mathbb{R}$ .
2.

La suma de la función de masa de todos los valores del soporte de una variable aleatoria es $1$ , esto es,

$\sum_{k\in S_{X}}f_{X}(k)=1.$