21 Definicion de variable aleatoria

Definición III.1.

Sea $(\Omega,\mathscr{A},P)$ un espacio probabilistico. Una variable aleatoria es cualquier funcion $X\colon\Omega\to\mathbb{R}$ que para todo $B\in\mathcal{{B}}(\mathbb{R})$ verifica

X^{-1}(B)\in\mathscr{A}

o lo que es lo mismo,

\left\{\omega\in\Omega\mid X(\omega)\in B\right\}\in\mathcal{{A}}

Una funcion que cumple esta condicion se dice que es una funcion medible con respecto al espacio probabilistico.

Sobre los elementos de $\Omega$ existe una distribucion de probabilidad, y la variable aleatoria $X$ traslada esta estructura probabilistica a $\mathbb{R}$ .

Si partimos del espacio probabilistico $(\Omega,\mathscr{A},P)$ y consideramos una variable aleatoria

X\colon\Omega\to\mathbb{R}

podemos definir

P_{X}\colon\mathbb{R}\to[0,1]

de la forma siguiente: para cada $B\in\mathcal{{B}}$ ,

P_{X}(B)=P(X\in B)=P(\left\{\omega\in\Omega\mid X(\omega)\in B\right\})=P(X^{-% 1}(B))

Teorema III.1.

$P_{X}$ es una probabilidad sobre $(\mathbb{R},\mathcal{{B}})$ .