39 Distribucion normal multivariante

Seguramente no entre funcion de densidad de distribuciones gaussianas multivariantes.

Sea $X$ un vector aleatorio con distribucion gaussiana, $X\sim N_{n}(\mu,\Sigma)$ y sea $A$ cualquier matriz de dimension $p\times n$ con $p\leq n$ . Consideremos el vector aleatorio $Y=AX$ . Puede probarse que la distribucion de $Y$ tambien es gaussiana. Es decir, al aplicar cualquier transformacion lineal a una distribucion normal, la variable resultante es tambien normal.

Mas concretamente, $Y=AX=N_{p}(A\mu,A\Sigma A^{t})$ .

Example 39.1.

Consideremos el vector aleatorio

\begin{pmatrix}X\\ Y\\ \end{pmatrix}\sim N_{2}\left(\begin{pmatrix}0\\ 1\\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\\ \end{pmatrix}\right)

A partir de este vector definimos las variables $T=X+Y$ , $Z=X-2Y$ . Determinar la distribucion del vector aleatorio $(T,Z)^{t}$ .

\begin{pmatrix}T\\ Z\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&-2\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}X\\ Y\\ \end{pmatrix}\sim N_{2}\left(\begin{pmatrix}1\\ -2\\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix}2&-1\\ -1&5\\ \end{pmatrix}\right)

Example 39.2.

Consideremos el vector aleatorio tridimensional

\begin{pmatrix}X\\ Y\\ Z\\ \end{pmatrix}\sim N_{3}\left(\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 0\\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix}4&0&1\\ 0&2&0\\ 1&0&1\\ \end{pmatrix}\right)

A partir de este vector definimos las variables

\displaystyle C

\displaystyle{}=-2X+3Z

\displaystyle D

\displaystyle{}=X+Y-Z

Determinar la distribucion del vector aleatorio $(C,D)^{t}$ .

\begin{pmatrix}C\\ D\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&0&3\\ 1&1&-1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}X\\ Y\\ Z\\ \end{pmatrix}\sim N_{2}\left(\begin{pmatrix}-4\\ 1\\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix}13&-6\\ -6&5\\ \end{pmatrix}\right)

En el caso de distribuciones normales, independencia e incorrelacion son equivalentes. Es decir, si $X$ e $Y$ son variables gaussianas, entonces seran independientes si y solo si su matriz de varianzas y covarianzas es una matriz diagonal.

Recordemos que las variables independientes siempre son incorrelacionadas, pero que el reciproco, en general, no es cierto. Sin embargo, para variables gaussianas la incorrelacion garantiza la independencia.

Example 39.3.

Consideremos el vector aleatorio

\begin{pmatrix}X\\ Y\\ \end{pmatrix}\sim N_{2}\left(\begin{pmatrix}0\\ 1\\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\\ \end{pmatrix}\right)

A partir de este vector definimos $T=X+Y$ y $Z=X-2Y$ .

Son las variables aleatorios $X$ e $Y$ independientes? Lo son $Z$ y $T$ ?

Las variables $X$ e $Y$ si son independientes, ya que $Cov(X,Y)=0$ , y para distribuciones gaussianas, la incorrelacion garantiza independencia.

Por otra parte, hemos visto que

\begin{pmatrix}T\\ Z\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&-2\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}X\\ Y\\ \end{pmatrix}\sim N_{2}\left(\begin{pmatrix}1\\ -2\\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix}2&-1\\ -1&5\\ \end{pmatrix}\right)

Puesto que $Cov(Z,T)=-1\neq 0$ , las variables $Z$ y $T$ no son independientes.