38 Vectores aleatorios continuos

Definition 38.1.

Se dice que un vector aleatorio X=(X1,X2,…,Xn)X=(X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}) es continuo si para cada componente i=1,2,…,ni=1,2,\ldots,n, XiX_{i} es una variable aleatoria continua.

La distribucion de probabilidades de un vector aleatorio bivariante continuo, (X1,X2)(X_{1},X_{2}), viene determinada por una funcion de densidad conjunta, fX1,X2⁢(x1,x2)f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2}), que satisface

  1. 1.
    ​

    fX1,X2⁢(x1,x2)≥0⁢∀x1,x2∈ℝf_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})\geq 0\;\forall x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}

  2. 2.
    ​

    ∫SX2∫SX1fX1,X2⁢(x1,x2)⁢𝑑x1⁢𝑑x2=1\int_{S_{X_{2}}}\int_{S_{X_{1}}}f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})dx_{1}dx_{2}=1

La probabilidad de que el vector aleatorio tome valores en un determinado conjunto se calcula integrando esta funcion de densidad en dicho conjunto:

P(a1≤X1≤b1,a2≤X2≤b2)=∫a2b2∫a1b1fX1,X2(x1,x2)dx1dx2P(a_{1}\leq X_{1}\leq b_{1},a_{2}\leq X_{2}\leq b_{2})=\int^{b_{2}}_{a_{2}}% \int^{b_{1}}_{a_{1}}f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})dx_{1}dx_{2}
Definition 38.2.

Sea (X1,X2)(X_{1},X_{2}) un vector aleatorio continuo. La función de densidad marginal de X1X_{1} viene dada por

fX1⁢(x1)=∫SX2fX1,X2⁢(x1,x2)⁢𝑑x2f_{X_{1}}(x_{1})=\int_{S_{X_{2}}}f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})dx_{2}

De forma analoga, la funcion de densidad marginal de X2X_{2} viene dada por

fX2⁢(x2)=∫SX1fX1,X2⁢(x1,x2)⁢𝑑x1f_{X_{2}}(x_{2})=\int_{S_{X_{1}}}f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})dx_{1}

A partir de estas densidades marginales se pueden calcular la esperanza, varianza, etc. de cada una de las variables aleatorias consideradas individualmente.

Definition 38.3.

La funcion de densidad de X1X_{1} condicionada por la ocurrencia del suceso X2=x2X_{2}=x_{2} (X1∣X2=x2X_{1}\mid X_{2}=x_{2}) es

fX1⁢(x1∣X2=x2)=fX1,X2⁢(x1,x2)fX2⁢(x2)f_{X_{1}}(x_{1}\mid X_{2}=x_{2})=\frac{f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})}{f_{X_{2}}% (x_{2})}

Esta funcion de densidad tiene sentido si y solo si x2∈SX2x_{2}\in S_{X_{2}}. Se define de forma análoga para X2X_{2}.

Recordemos que dos variables aleatorias XX e YY son independientes si para cualquier par de conjuntos A,B⊂ℝA,B\subset\mathbb{R} se verifica

P⁢(X∈A,Y∈B)=P⁢(X∈A)×P⁢(Y∈B)P(X\in A,Y\in B)=P(X\in A)\times P(Y\in B)

Puede demostrarse que, en el caos de variables aleatorias continuas esto es equivalente a que para todos los valores del soporte se verifique

fX,Y⁢(x,y)=fX⁢(x)×fY⁢(y)⁢∀x∈SX,∀y∈SYf_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)\times f_{Y}(y)\;\forall x\in S_{X},\;\forall y\in S_{Y}

es decir, que la funcion de densidad conjunta sea el producto de las funciones de densidades marginales.

Los conceptos y resultados para el caso bivariante se pueden extender al caso nn variante. La función de densidad conjunta verificará

  1. 1.
    ​

    fX1,…,Xn⁢(x1,…,xn)≥0⁢∀x1,…,xn∈ℝf_{X_{1},\ldots,X_{n}}(x_{1},\ldots,x_{n})\geq 0\;\forall x_{1},\ldots,x_{n}% \in\mathbb{R}

  2. 2.
    ​

    ∫−∞∞⋯⁢∫−∞∞fX1,…,Xn⁢(x1,…,xn)⁢𝑑x1⁢…⁢𝑑xn=1\int^{\infty}_{-\infty}\cdots\int^{\infty}_{-\infty}f_{X_{1},\ldots,X_{n}}(x_{% 1},\ldots,x_{n})dx_{1}\ldots dx_{n}=1

y la distribucion marginal de XkX_{k} viene dada por

fXk⁢(xk)=∫−∞∞⋯⁢∫−∞∞fX1,…,Xn⁢(x1,…,xn)⁢𝑑x1⁢⋯⁢𝑑xk−1⁢𝑑xk+1⁢⋯⁢𝑑xnf_{X_{k}}(x_{k})=\int^{\infty}_{-\infty}\cdots\int^{\infty}_{-\infty}f_{X_{1},% \ldots,X_{n}}(x_{1},\ldots,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{k-1}dx_{k+1}\cdots dx_{n}