35 Covarianza entre variables aleatorias

Sea XX una variable aleatoria univariante, y g:ℝtoℝg\colon\mathbb{R}to\mathbb{R} una funcion real. Entonces g(X)g(X) es otra variable aleatoria, y su valor esperado viene dado por

E(g(X))={∑xi∈SXg(xi)fX(xi) en el caso discreto∫SXg(x)fX(x)dx en el caso continuoE(g(X))=\begin{cases}\sum_{x_{i}\in S_{X}}g(x_{i})f_{X}(x_{i})&\text{ en el % caso discreto}\\ \int_{S_{X}}g(x)f_{X}(x)dx&\text{ en el caso continuo}\end{cases}
Ejemplo IV.9.

Sea XX una variable aleatoria con funcion de masa

fX(0)\displaystyle f_{X}(0)
=0,3\displaystyle{}=0{,}3
fX(90)\displaystyle f_{X}(90)
=0,2\displaystyle{}=0{,}2
fX(180)\displaystyle f_{X}(180)
=0,4\displaystyle{}=0{,}4
fX(270)\displaystyle f_{X}(270)
=0,1\displaystyle{}=0{,}1

Si los angulos se miden en grados, cual es el valor esperado de sinX\sin X? Y el de cosX\cos X?

Puesto que XX es una variable discreta,

E(sinX)\displaystyle E(\sin X)
=∑x∈SXsin(x)fX(x)=0,3⋅sin0+0,2⋅sin90+0,4⋅sin180+0,1⋅sin270=0,1\displaystyle{}=\sum_{x\in S_{X}}\sin(x)f_{X}(x)=0{,}3\cdot\sin 0+0{,}2\cdot% \sin 90+0{,}4\cdot\sin 180+0{,}1\cdot\sin 270=0{,}1

y

E(cosX)\displaystyle E(\cos X)
=∑x∈SXcos(x)fX(x)=0,3⋅cos0+0,2⋅cos90+0,4⋅cos180+0,1⋅cos270=−0,1\displaystyle{}=\sum_{x\in S_{X}}\cos(x)f_{X}(x)=0{,}3\cdot\cos 0+0{,}2\cdot% \cos 90+0{,}4\cdot\cos 180+0{,}1\cdot\cos 270=-0{,}1
Proposición IV.7.

Si (X1,X2)(X_{1},X_{2}) es un vector aleatorio bivariante discreto y

g:ℝ2→ℝg\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}

entonces g(X1,X2)g(X_{1},X_{2}) es una variable aleatoria unidimensional, y su valor esperado es

E[g(X1,X2)]=∑x1∈SX1∑x2∈SX2g(x1,x2)fX1,X2(x1,x2)E[g(X_{1},X_{2})]=\sum_{x_{1}\in S_{X_{1}}}\sum_{x_{2}\in S_{X_{2}}}g(x_{1},x_% {2})f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})
Ejemplo IV.10.

La funcion de masa conjunta de las variables aleatorias XX e YY es la que aparece en la siguiente tabla

−2-2 −1-1 22
0 0,10{,}1 0 0,30{,}3
44 0,20{,}2 0,30{,}3 0,10{,}1

Hallar E(Y/X)E(Y/X) y E(X×Y)E(X\times Y) y compararlas con E(Y)E(X)\frac{E(Y)}{E(X)} y E(X)×E(Y)E(X)\times E(Y), respectivamente.

E(Y/X)\displaystyle E(Y/X)
=0−2⋅0,1+0−1⋅0+02⋅0,3+4−2⋅0,2+4−1⋅0,3+42⋅0,1=−1,4\displaystyle{}=\frac{0}{-2}\cdot 0{,}1+\frac{0}{-1}\cdot 0+\frac{0}{2}\cdot 0% {,}3+\frac{4}{-2}\cdot 0{,}2+\frac{4}{-1}\cdot 0{,}3+\frac{4}{2}\cdot 0{,}1=-1% {,}4
E(X×Y)\displaystyle E(X\times Y)
=0⋅(0,1+0+0,3)+(−2)⋅4⋅0,2+(−1)⋅4⋅0,3+2⋅4⋅0,1=−2\displaystyle{}=0\cdot(0{,}1+0+0{,}3)+(-2)\cdot 4\cdot 0{,}2+(-1)\cdot 4\cdot 0% {,}3+2\cdot 4\cdot 0{,}1=-2

Por otra parte,

E(X)\displaystyle E(X)
=(−2)⋅0,3+(−1)⋅0,3+2⋅0,4=−0,1\displaystyle{}=(-2)\cdot 0{,}3+(-1)\cdot 0{,}3+2\cdot 0{,}4=-0{,}1
E(Y)\displaystyle E(Y)
=0⋅0,4+4⋅0,6=2,4\displaystyle{}=0\cdot 0{,}4+4\cdot 0{,}6=2{,}4

Luego

E(Y/X)=−1,4≠−24=E(Y)E(X)E(Y/X)=-1{,}4\neq-24=\frac{E(Y)}{E(X)}

y

E(X×Y)=−2≠−0,24=−0,1⋅2,4=E(X)⋅E(Y)E(X\times Y)=-2\neq-0{,}24=-0{,}1\cdot 2{,}4=E(X)\cdot E(Y)

El ejemplo anterior ilustra el hecho de que, en general, para un par de variables aleatorias

E(X1×X2)≠E(X1)⋅E(X2)E(X_{1}\times X_{2})\neq E(X_{1})\cdot E(X_{2})

es decir, que la esperanza del producto de variables no tiene por que coincidir con el producto de las esperanzas.

No obstante, en algunos casos si se da esta igualdad. En particular, puede demostrarse que, si X1X_{1} y X2X_{2} son variables aleatorias independientes, entonces si se verifica.

Definición IV.9.

Se define la covarianza entre dos variables aleatorias, XX e YY, como

Cov(X,Y)=E[(X−E(X))×(Y−E(Y))]Cov(X,Y)=E[(X-E(X))\times(Y-E(Y))]

es decir

Cov(X,Y)=E[(X−μX)×(Y−μY)]Cov(X,Y)=E[(X-\mu_{X})\times(Y-\mu_{Y})]
Proposición IV.8.

La covarianza entre dos variables aleatorias, XX e YY, puede expresarse como

Cov(X,Y)=E[X⋅Y]−E[X]⋅E[Y]=E[X⋅Y]−μX⋅μYCov(X,Y)=E[X\cdot Y]-E[X]\cdot E[Y]=E[X\cdot Y]-\mu_{X}\cdot\mu_{Y}
Demostración.
Cov(X,Y)\displaystyle Cov(X,Y)
=E[(X−E(X))⋅(Y−E(Y))]=E[XY−XE(Y)−E(X)Y+E(X)⋅E(Y)]\displaystyle{}=E[(X-E(X))\cdot(Y-E(Y))]=E[XY-XE(Y)-E(X)Y+E(X)\cdot E(Y)]
=E[XY]−E[X⋅E(Y)]−E[E(X)⋅Y]+E[E(X)⋅E(Y)]\displaystyle{}=E[XY]-E[X\cdot E(Y)]-E[E(X)\cdot Y]+E[E(X)\cdot E(Y)]
=E[XY]−μYμX−μXμY+μXμY\displaystyle{}=E[XY]-\mu_{Y}\mu_{X}-\mu_{X}\mu_{Y}+\mu_{X}\mu_{Y}
=E[XY]−μXμY\displaystyle{}=E[XY]-\mu_{X}\mu_{Y}

∎

Observación IV.1.

Dada una variable aleatoria XX, la covarianza de XX consigo misma es su varianza:

Cov(X,X)=E[X×X]−E[X]⋅E[Y]=E[X2]−E2[X]=V(X)=σ2XCov(X,X)=E[X\times X]-E[X]\cdot E[Y]=E[X^{2}]-E^{2}[X]=V(X)=\sigma^{2}_{X}

Cuando la covarianza entre las variables XX e YY es nula, es decir, si se verifica Cov(X,Y)=0Cov(X,Y)=0 se dice que las variables son (o estan) incorrelacionadas entre si.

La covarianza es una medida de la variabilidad conjunta de dos variables XX e YY:

  • ​

    Cuando hay una alta probabilidad de que valores grandes de XX esten asociados con valores grandes de YY, y los valores pequeños de XX vayan asociados a valores pequeños de YY, la covarianza sera positiva.

  • ​

    Por el contrario, si existe una alta probabilidad de que valores grandes de XX se encuentren asociados a valores pequeños de YY y viceversa, la covarianza sera negativa.

  • ​

    Cuando no existe ninguna relacion de tipo lineal entre XX e YY, la covarianza entre ellas es 0.

Es importante tener en cuenta que la covarianza tiene en cuenta solo las relaciones lineales, por lo que dos variables aleatorias incorrelacionadas pueden estar relacionadas mediante otro tipo de función (exponencial, cuadrática, logarítmica, sinusoidal, etc.).

Proposición IV.9.

Si XX e YY son variables aleatorias independientes, entonces se verifica

E(X×Y)=E(X)⋅E(Y)E(X\times Y)=E(X)\cdot E(Y)

y en consecuencia Cov(X,Y)=0Cov(X,Y)=0.

Demostración.

La hizo pero no entra. ∎

Por tanto, las variables aleatorias independientes son siempre incorrelacionadas. Sin embargo, dos variables pueden tenre covarianza cero y ser dependientes (pueden no tener dependencia lineal pero tener otro tipo de dependencia).

Ademas, la covarianza entre dos variables varia si cambiamos las unidades en las que medimos alguna de ellas. Por tanto, tiene sentido fijarse en el signo de la covarianza, pero su valor absoluto no resulta de utilidad.