36 Matriz de varianzas-covarianzas y vector de medias

Sea X=(X1,…,Xn)′X=(X_{1},\ldots,X_{n})^{\prime} un vector aleatorio n−n-dimensional. La matriz de varianzas y covarianzas de XX es la matriz cuadrada

σX=(V⁢(X1)C⁢o⁢v⁢(X1,X2)⋯C⁢o⁢v⁢(X1,Xn)C⁢o⁢v⁢(X2,X1)V⁢(X2)⋯C⁢o⁢v⁢(X2,Xn)⋮⋮⋱⋮C⁢o⁢v⁢(Xn,X1)C⁢o⁢v⁢(Xn,X1)⋯V⁢(Xn))\sigma_{X}=\begin{pmatrix}V(X_{1})&Cov(X_{1},X_{2})&\cdots&Cov(X_{1},X_{n})\\ Cov(X_{2},X_{1})&V(X_{2})&\cdots&Cov(X_{2},X_{n})\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ Cov(X_{n},X_{1})&Cov(X_{n},X_{1})&\cdots&V(X_{n})\\ \end{pmatrix}

Puesto que

C⁢o⁢v⁢(X,Y)=E⁢[X⁢Y]−E⁢[X]⁢E⁢[Y]=E⁢[Y⁢X]−E⁢[Y]⁢E⁢[X]=C⁢o⁢v⁢(Y,X)Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=E[YX]-E[Y]E[X]=Cov(Y,X)

es una matriz simetrica. Ademas, puede demostrarse que siempre es semidefinida positiva.

Sea X=(X1,X2,…,Xn)′X=(X_{1},X_{2},\ldots,X_{n})^{\prime} un vector aleatorio nn-dimensional. El vector de medias de XX es

μX=(E⁢(X1)E⁢(X2)⋮E⁢(Xn))=(μ1μ2⋮μn)\mu_{X}=\begin{pmatrix}E(X_{1})\\ E(X_{2})\\ \vdots\\ E(X_{n})\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mu_{1}\\ \mu_{2}\\ \vdots\\ \mu_{n}\\ \end{pmatrix}