37 Coeficiente de correlación entre variables aleatorias

Definición IV.10.

Se define el coeficiente de correlacion entre dos variables aleatorias, $X$ e $Y$ , como

\rho_{X,Y}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{V(X)\times V(Y)}}=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_{X}% \sigma_{Y}}

Evidentemente, el coeficiente de correlacion siempre conserva el signo de la covarianza, por lo que

Cuando hay una alta probabilidad de que valores grandes de $X$ esten asociados con valores grandes de $Y$ , y los valores pequeños de $X$ esten asociados con valores pequeños de $Y$ , $\rho_{X,Y}$ será positivo.
Cuando existe una alta probabilidad de que valores grandes de $X$ se encuentren asociados a valores pequeños de $Y$ y viceversa, $\rho_{X,Y}$ sera negativo.

Pero ademas, puede demostrarse que el coeficiente de correlacion entre dos variables aleatorias siempre toma valores entre $-1$ y $1$ .

Esto permite evaluar el grado de dependencia lineal. Si $\rho_{X,Y}=0$ , $X$ e $Y$ son incorrelacionadas y no existe ninguna dependencia lineal entre ellas. Si $\rho_{X,Y}=1$ , $X$ es una funcion lineal de $Y$ con pendiente positiva y, si $\rho_{X,Y}=-1$ , con pendiente negativa.

Para variable aleatoria bidimensional, $Z=\binom{X}{Y}$ , la matriz de varianzas y covarianzas es

\Sigma_{Z}=\begin{pmatrix}V(X)&Cov(X,Y)\\ Cov(X,Y)&V(Y)\\ \end{pmatrix}

Observemos que se tambien se puede expresar asi

\Sigma_{Z}=\begin{pmatrix}\sigma^{2}_{X}&\sigma_{X,Y}\\ \sigma_{X,Y}&\sigma^{2}_{Y}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sigma^{2}_{X}&\sigma_{X}\cdot\sigma_{Y}\cdot\rho% _{X,Y}\\ \sigma_{X}\cdot\sigma_{Y}\cdot\rho_{X,Y}&\sigma^{2}_{Y}\\ \end{pmatrix}

donde $\sigma^{2}_{X}=V(X)$ , $\sigma^{2}_{Y}=V(Y)$ , $\sigma_{X,Y}=Cov(X,Y)$ , y

\rho_{X,Y}=\frac{\sigma_{X,Y}}{\sigma_{X}\cdot\sigma_{Y}}