34 Independencia de variables aleatorias

En ocasiones, la informacion referida a una variable aleatoria $X$ no incide la distribucion de probabilidades de otra variable $Y$ . En tales casos $X$ e $Y$ son independientes.

Definición IV.7.

Las variables aleatorias $X$ e $Y$ son independientes si para cualquier par de conjuntos $A,B\subset\mathbb{R}$ se verifica

P(X\in A,Y\in B)=P(X\in A)\times P(Y\in B)

Puede probarse que la condicion anterior es equivalente a la de, para todos los valores $x,y\in\mathbb{R}$ se verifique $F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)\cdot F_{Y}(y)$ .

Definición IV.8.

Se dice que las variables aleatorias $X_{1},\ldots,X_{n}$ son independientes si para cualquier coleccion de conjuntos $A_{1},\ldots,A_{n}\subset\mathbb{R}$ se verifica

P(X_{1}\in A_{1},\ldots,X_{n}\in A_{n})=P(X_{1}\in A_{1})\cdots P(X_{n}\in A_{% n})

Proposición IV.4.

Las variables $X_{1},\ldots,X_{n}$ son independientes si y solo si para todos los valores reales de $x_{1},\ldots,x_{n}$ se verifica

F_{X_{1},\ldots,X_{n}}(x_{1},\ldots,x_{n})=F_{X_{1}}(x_{1})\cdots F_{X_{n}}(x_% {n})

donde $F_{X_{1},\ldots,X_{n}}$ es la funcion de distribucion conjunta de las $n$ variables.

Proposición IV.5.

Consideremos una coleccion de variables aleatorias independientes y un conjunto de funciones $g_{j}\colon\mathbb{R}to\mathbb{R}$ . Entonces las variables aleatorias transformadas son tambien independientes.

Ejemplo IV.6.

Las variables $X_{1}$ (numero de abonos quimicos) y $X_{2}$ (numero de abonos organicos) de los ejemplos anteriores, no son independientes, ya que, por ejemplo,

f_{X_{1},X_{2}}(0,0)=0{,}1\neq 0{,}18=0{,}3\cdot 0{,}6=f_{X_{1}}(0)\cdot f_{X_% {2}}(0)

Ejemplo IV.7.

La funcion de masa conjunta de las variables aleatorias $X$ e $Y$ es la que aparece en la siguiente tabla:

1.

Son independientes las variables $X$ e $Y$ ?

En este caso, las variables $X$ e $Y$ son independientes, ya que, como se puede comprobar en la tabla, para todo $x\in\left\{0,1,2\right\}$ e $y\in\left\{1,5\right\}$ se cumple que

$P(X=x,Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)$

$X\mid Y=1\equiv\begin{pmatrix}0&1&2\\ 0{,}6&0{,}36&0{,}04\\ \end{pmatrix}$

$\text{Marginal }x\equiv\begin{pmatrix}0&1&2\\ 0{,}6&0{,}36&0{,}04\\ \end{pmatrix}$
2.

Que relacion existe entre $E(X)$ , $E(X\mid Y=1)$ y $E(X\mid Y=5)$ ? A que es esto debido?

$E(X)=E(X\mid Y=1)=E(X\mid Y=5)$

Se debe a que son independientes.

Proposición IV.6.

Cuando $X_{1}$ y $X_{2}$ son variables aleatorias independientes, se verifica, para todos los valores $x_{1}\in S_{X_{1}}$ y $x_{2}\in S_{X_{2}}$ , que,

\displaystyle P(X_{1}=x_{1}\mid X_{2}=x_{2})

\displaystyle{}=\frac{P(X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2})}{P(X_{2}=x_{2})}

\displaystyle{}=\frac{P(X_{1}=x_{1})\cdot P(X_{2}=x_{2})}{P(X_{2}=x_{2})}

\displaystyle{}=P(X_{1}=x_{1})

o expresado de otra forma, que

f_{X_{1}}(x_{1}\mid X_{2}=x_{2})=\frac{f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})}{f_{X_{2}}% (x_{2})}=\frac{f_{X_{1}}(x_{1})f_{X_{2}}(x_{2})}{f_{X_{2}}(x_{2})}=f_{X_{1}}(x% _{1})

Analogamente se tiene que

f_{X_{2}}(x_{2}\mid X_{1}=x_{1})=f_{X_{2}}(x_{2})

Ejemplo IV.8.

(ejercicio de examen importante). La junta de una comunidad vecinal esta formada por 10 vecinos: uno del primer piso, tres del segundo, dos del tercero, tres del cuarto y uno del quinto. De los $10$ miembros de la junta seselecciona al azar una comision de dos personas.

Se desea conocer la representacion que tienen en esta junta los vecinos de los pisos mas bajos.

Sea $P$ el numero de vecinos del primer piso en la comision y $S$ el numero de vecinos del segundo.

1.

Hallar la funcion de masa conjunta del vector $(P,S)$ .

0 1 2

0 $30/90$ $36/90$ $6/90$ $72/90$

1 $12/90$ $6/90$ $0$ $18/90$

$42/90$ $42/90$ $6/90$
2.

Encontrar las distribuciones marginales de $P$ y $S$ .

$P\equiv\begin{pmatrix}0&1\\ \frac{72}{90}&\frac{18}{90}\\ \end{pmatrix}$

$S\equiv\begin{pmatrix}0&1&2\\ \frac{42}{90}&\frac{42}{90}&\frac{6}{90}\\ \end{pmatrix}$
3.

Calcular $E(P)$ , $E(P\mid S=0)$ , $E(P\mid S=1)$ y $E(P\mid S=2)$ .

$E(P)=\frac{18}{90}=0{,}2$

$E(P\mid S=0)=\frac{12}{42}=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}$

$E(P\mid S=1)=\frac{1}{7}$
4.

Determinar si las variables $P$ y $S$ son independientes.

No son independientes.

	0	1	2
0	$30/90$	$36/90$	$6/90$	$72/90$
1	$12/90$	$6/90$	$0$	$18/90$
	$42/90$	$42/90$	$6/90$