33 Vectores aleatorios discretos

Definition 33.1.

Se dice que un vector aleatorio $X=(X_{1},\ldots,X_{n})$ es discreto si para cada componente $i=1,2,\ldots,n$ , $X_{i}$ es una variable aleatoria discreta.

Observemos que, en tal caso, existiran conjuntos $A_{1},\ldots,A_{n}\subset\mathbb{R}$ numerables tales que

P(X_{1}\in A_{1})=1,P(X_{2}\in A_{2})=1,\ldots,P(X_{n}\in A_{n})=1

Si consideramos el conjunto $A=A_{1}\times\cdots\times A_{n}$ se tiene que $P(X\in A)=1$ .

Por tanto, el soporte de un vector aleatorio discreto (que es un conjunto de $\mathbb{R}^{n}$ ) es numerable.

Vamos a analizar las distribuciones multivariantes discretas comenzando por un ejemplo para el caso bivariante.

Example 33.2.

Los agricultores de cierta region pueden utilizar tanto abonos quimicos como organicos.

Las probabilidades para cada numero de abonos quimicos empleados $(X_{1})$ combinados con cada numero de abonos organicos $(X_{2})$ se recogen en la siguiente tabla:

	0	$1$	$2$
0	$0.1$	$0.4$	$0.1$
1	$0.2$	$0.2$	$0$

Esta tabla recoge todas las probabilidades conjuntas relativas al vector $(X_{1},X_{2})$ . Por ejemplo, vemos que

P(X_{1}=1,X_{2}=0)=0.4,P(X_{1}=0,X_{2}=1)=0.2

Definition 33.3.

La funcion de masa de probabilidad conjunta de un vector aleatorio bivariante, $(X_{1},X_{2})$ es la funcion

f_{X_{1},X_{2}}\colon\mathbb{R}^{2}\to[0,1]

definida como

f_{X_{1},X_{2}}(k_{1},k_{2})=P(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2})

Proposition 33.4.

La funcion de masa de un vector aleatorio bivariante verifica las propiedades

1.

$f_{X_{1},X_{2}}(k_{1},k_{2})\geq 0$ para todo $k_{1},k_{2}\in\mathbb{R}$ ,
2.

$\sum_{k_{1}\in S_{X_{1}}}\sum_{k_{2}\in S_{X_{2}}}f_{X_{1},X_{2}}(k_{1},k_{2})=1$

La distribucion de probabilidades de un vector aleatorio bivariante puede resumirse en una tabla de doble entrada que refleje su funcion de masa conjunta.

Definition 33.5.

La distribucion marginal de $X_{1}$ es la distribucion de probabilidades de la primera variable del vector aleatorio considerada individualmente.

En el caso discreto esta distribucion marginal puede describirse mediante la funcion de masa marginal:

\displaystyle f_{1}(k_{1})

\displaystyle{}=f_{X_{1}}(k_{1})=P(X_{1}=k_{1})=\sum{k_{2}\in S_{X_{2}}}P(X_{1% }=k_{1},X_{2}=k_{2})

\displaystyle{}=\sum_{k_{2}\in S_{X_{2}}}f_{X_{1},X_{2}}(k_{1},k_{2})

Analogamente, la funcion de masa marginal de $X_{2}$ viene dada por

f_{2}(k_{2})=\sum_{k_{1}\in S_{X_{1}}}f_{X_{1},X_{2}}(k_{1},k_{2})

Las funciones de masa de probabilidad marginales se calculan facilmente en los margenes de la tabla sumando las probabiliaddes por filas o por columnas.

Example 33.6.

La distribucion marginal de la cantidad de abonos quimicos empleados en la region del ejemplo anterior es

\displaystyle f_{X_{1}}(0)

\displaystyle{}=P(X_{1}=0)=P(X_{1}=0,X_{2}=0)+P(X_{1}=0,X_{2}=1)=0.1+0.2=0.3

\displaystyle f_{X_{1}}(1)

\displaystyle{}=P(X_{1}=1)=0.4+0.2=0.6

\displaystyle f_{X_{1}}(2)

\displaystyle{}=P(X_{1}=2)=0.1+0=0.1

y la distribucion marginal del numero de abonos organicos utilizados,

\displaystyle f_{X_{2}}(0)

\displaystyle{}=P(X_{2}=0)=0.1+0.4+0.1=0.6

\displaystyle f_{X_{2}}(1)=P(X_{2}=1)=0.2+0.2+0=0.4

Los calculos resultan mas sencillos sumando a los margenes de la tabla.

Usando estas distribuciones marginales podemos calcular, por ejemplo, la esperanza y la varianza de cada una de estas variables aleatorias:

\displaystyle E(X_{1})

\displaystyle{}=0.8,E(X^{2}_{1})

\displaystyle=1,V(X_{1})

\displaystyle{}=0.36

\displaystyle E(X_{2})

\displaystyle{}=0.4,E(X^{2}_{2})

\displaystyle=0.4,V(X_{2})

\displaystyle{}=0.24

Ademas de su distribucion marginal, se pueden considerar otras distribuciones de probabilidad para $X_{1}$ : las distribuciones condicionadas por un valor particular de $X_{2}$ , ya que, en muchos casos, el hecho de saber que la variable $X_{2}$ toma un determinado valor modifica la distribucion de probabilidades sobre $X_{1}$ .

Definition 33.7.

La funcion de masa de probabilidad de $X_{1}$ condicionada a $X_{2}=k_{2}$ , denotada como $X_{1}\mid X_{2}=k_{2}$ , es

\displaystyle f_{X_{1}}(k_{1}\mid X_{2}=k_{2})

\displaystyle{}=P(X_{1}=k_{1}\mid X_{2}=k_{2})=\frac{P(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2}% )}{P(X_{2}=k_{2})}

\displaystyle{}=\frac{f_{X_{1},X_{2}}(k_{1},k_{2})}{f_{X_{2}}(k_{2})}

Proposition 33.8.

La funcion de masa condicionada proporcionada otra distribucion de probabilidades para $X_{1}$ , y como tal verfica las propiedades

1.

$f_{X_{1}}(k_{1}\mid X_{2}=k_{2})\geq 0$ para todo $k_{1}\in S_{X_{1}},k_{2}\in S_{X_{2}}$ .
2.

$\sum_{k_{1}\in S_{X_{1}}}f_{X_{1}}(k_{1}\mid X_{2}=k_{2})=1$ .

A partir de esta funcion de probabilidad condicionada podemos calcular, por ejemplo, esperanzas y varianzas condicionadas:

\displaystyle E(X_{1}\mid X_{2}=k_{2})

\displaystyle{}=\sum_{k_{1}\in S_{X_{1}}}k_{1}\cdot f_{1}(k_{1}\mid k_{2})

\displaystyle V(X_{1}\mid X_{2}=k_{2})

\displaystyle{}=E(X^{2}_{1}\mid X_{2}=k_{2})-E^{2}(X_{1}\mid X_{2}=k_{2})

De manera similar, la funcion de masa de probabilidad condicionada a $X_{1}=k_{1}$ viene dada por

f_{X_{2}}(k_{2}\mid X_{1}=k_{1})=\frac{f_{X_{1},X_{2}}(k_{1},k_{2})}{f_{X_{1}}% (k_{1})}

Example 33.9.

Para el caso de los abonos de la region del ejemplo anterior,

1.

Determinar la distribucion de la cantidad de abonos quimicos, $X_{1}$ , sabiendo que el numero de abonos organicos empleados es $X_{2}=0$ .

La funcion de probabilidad de $X_{1}$ condicionada por $X_{2}=0$ es

$\displaystyle f_{X_{1}}(0\mid X_{2}=0)$

$\displaystyle{}=P(X_{1}=0\mid X_{2}=0)=\frac{f_{X_{1},X_{2}}(0,0)}{f_{X_{2}}(0% )}=\frac{0.1}{0.6}=\frac{1}{6}$

$\displaystyle f_{X_{1}}(1\mid X_{2}=0)$

$\displaystyle{}=P(X_{1}=1\mid X_{2}=0)=\frac{f_{X_{1},X_{2}}(1,0)}{f_{X_{2}}(0% )}=\frac{0.4}{0.6}=\frac{4}{6}$

$\displaystyle f_{X_{1}}(2\mid X_{2}=0)$

$\displaystyle{}=P(X_{1}=2\mid X_{2}=0)=\frac{f_{X_{1},X_{2}}(2,0)}{f_{X_{2}}(0% )}=\frac{0.1}{0.6}=\frac{1}{6}$

o expresado en forma matricial

$X\equiv\begin{pmatrix}0&1&2\\ \frac{1}{6}&\frac{4}{6}&\frac{1}{6}\\ \end{pmatrix}$
2.

Calcular $E(X_{1}\mid X_{2}=0)$ y $V(X_{1}\mid X_{2}=0)$

Como hemos dicho, tambien se modifican la esperanza y la varianza de $X_{1}$ (con respecto a los valores marginales)

$\displaystyle E(X_{1}\mid X_{2}=0)$

$\displaystyle{}=0\cdot\frac{1}{6}+\frac{4}{6}+2\cdot\frac{1}{6}=1$

$\displaystyle E(X^{2}_{1}\mid X_{2}=0)$

$\displaystyle{}=0\cdot\frac{1}{6}+1\cdot\frac{4}{6}+4\cdot\frac{1}{6}=\frac{4}% {3}$
3.

Establecer la distribucion de la cantidad de abonos organicos, $X_{2}$ , cuando se sabe que el numero de abonos quimicos utilizados es $X_{1}=1$ .

Del mismo modo, la distribucion de probabilidades del numero de abonos organicos tambien varia cuando sabemos cuantos abonos quimicos se utilizan.

Asi, la funcion de masa de $X_{2}$ condicionada por $X_{1}=1$ es

$\displaystyle f_{X_{2}}(0\mid X_{1}=1)$

$\displaystyle{}=P(X_{2}=0\mid X_{1}=1)=\frac{f_{X_{1},X_{2}}(1,0)}{f_{X_{1}}(1% )}=\frac{0.4}{0.6}=\frac{2}{3}$

$\displaystyle f_{X_{2}}(1\mid X_{1}=1)$

$\displaystyle{}=P(X_{2}=1\mid X_{1}=1)=\frac{f_{X_{1},X_{2}}(1,1)}{f_{X_{1}}(1% )}=\frac{0.2}{0.6}=\frac{1}{3}$

o, resumidamente,

$X\equiv\begin{pmatrix}0&1\\ \frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\ \end{pmatrix}$
4.

Calcular $E(X_{2}\mid X_{1}=1)$ y $V(X_{2}\mid X_{1}=1)$ .

Del apartado anterior se deduce que

$\displaystyle E(X_{2}\mid X_{1}=1)$

$\displaystyle{}=0\cdot\frac{2}{3}+1\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

$\displaystyle E(X^{2}_{2}\mid X_{1}=1)$

$\displaystyle{}=0\cdot\frac{2}{3}+1\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$

$\displaystyle V(X^{2}_{2}\mid X_{1}=1)$

$\displaystyle{}=\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$

Example 33.10.

Para el experimento aleatorio consistente en lanzar al aire una moneda equilibrada tres veces, consideremos las variables aleatorias:

\displaystyle X

\displaystyle{}\equiv\text{numero de caras}

\displaystyle Y

\displaystyle{}\equiv\text{numero de cruces que preceden a la primera cara}

1.

Determinar la distribucion conjunta del vector aleatorio $(X,Y)$ .
2.

Calcular $E(X)$ , $E(Y)$ , $V(X)$ y $V(Y)$ .
3.

Calcular $E(X\mid Y=1)$ y $V(X\mid Y=1)$ .
4.

Calcular $E(Y\mid X=2)$ y $V(Y\mid X=2)$

	X	Y
CCC	3	0
CCY	2	0
CXC	2	0
XCC	2	1
CXX	1	0
XCX	1	1
XXC	1	2
XXX	0	3

	0	1	2	3
0	0	$\frac{1}{8}$	$\frac{2}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{4}{8}$
1	0	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$	0	$\frac{2}{8}$
2	0	$\frac{1}{8}$	0	0	$\frac{1}{8}$
3	$\frac{1}{8}$	0	0	0	$\frac{1}{8}$
	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$	$1$

Table 1: caption

2.

$E(X)=1.5$ , $E(Y)=0.875$ , $V(X)=0.75$ , $V(Y)=1.1$ .
3.

$E(X\mid Y=1)=1\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{2}=1.5$ , $E(X^{2}\mid Y=1)=\frac{1}{2}+2=2.5$ , $V(X\mid Y=1)=2.5-1.5^{2}$
4.

$Y\mid X=2\equiv\begin{pmatrix}0&1&2&3\\ \frac{2}{3}&\frac{1}{3}&0&0\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\ \frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\ \end{pmatrix}$ . $E(Y\mid X=2)=\frac{1}{3}\simeq 0.3333$ , $V(Y\mid X=2)=\frac{2}{9}\simeq 0.2222$