Parte IV Vectores aleatorios

En el tema anterior nos hemos limitado a analizar variables aleatorias unidimensionales. Sin embargo, muchas veces estaremos interesados en mas de una caracteristica de un fenomeno aleatorio. En este tema analizaremos modelos de probabilidad con varias variables aleatorias, que reciben el nombre de vectores aleatorios o variables aleatorias multivariantes.

Es importante tener en cuenta que conocer la distribucion individual de cada variable aleatoria no proporciona suficiente informacion para calcular probabilidades que involucren mas de una variable.

Ejemplo IV.1.

Para el experimento aleatorio consistente en lanzar al aire una moneda equilibrada tres veces, consideremos las variables aleatorias:

X\displaystyle X
=numero de cartas\displaystyle{}=\text{numero de cartas}
Y\displaystyle Y
=numero de cruces que preceden a la primera cara\displaystyle{}=\text{numero de cruces que preceden a la primera cara}

(en caso de obtener 3 cruces se considerara que Y=3Y=3).

Es facil determinar las funciones de masa de probabilidad de cada una de estas variables individualmente:

X=(012318383818)Y=(012348281818)X=\begin{pmatrix}0&1&2&3\\ \frac{1}{8}&\frac{3}{8}&\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\\ \end{pmatrix}\quad Y=\begin{pmatrix}0&1&2&3\\ \frac{4}{8}&\frac{2}{8}&\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\ \end{pmatrix}

Sin embargo, estas distribuciones no son suficientes para calcular, por ejemplo,

P(X=2,Y=0) o P(X=Y)P(X=2,Y=0)\text{ o }P(X=Y)
Definición IV.1.

Sea (Ω,𝒜︀,P)(\Omega,\mathcal{{A}},P) un espacio probabilistico. Se dice que el vector nn-dimensional

X=(X1,X2,…,Xn)X=(X_{1},X_{2},\ldots,X_{n})

es un vector aleatorio si para cada una de sus componentes, es decir, para j=1,2,…,nj=1,2,\ldots,n,

Xj:Ω→ℝX_{j}\colon\Omega\to\mathbb{R}

es una variable aleatoria.

Observese que XX es una funcion X:Ω→ℝnX\colon\Omega\to\mathbb{R}^{n} que a cada ω∈Ω\omega\in\Omega le asigna el vector X(ω)=(X1(ω),X2(ω),…,Xn(ω))X(\omega)=(X_{1}(\omega),X_{2}(\omega),\ldots,X_{n}(\omega)).

El vector aleatorio XX induce una distribucion de probabilidades sobre ℝn\mathbb{R}^{n} a partir de la estructura probabilistica definida sobre Ω\Omega.

Definición IV.2.

La funcion de distribucion conjunta de un vector aleatorio

X=(X1,X2,…,Xn)X=(X_{1},X_{2},\ldots,X_{n})

es la funcion

FX:ℝn→[0,1]F_{X}\colon\mathbb{R}^{n}\to[0,1]

que a cada (x1,…,xn)∈ℝn(x_{1},\ldots,x_{n})\in\mathbb{R}^{n} le asigna el valor

FX(x1,…,xn)=P(X1≤x1,…,Xn≤xn)F_{X}(x_{1},\ldots,x_{n})=P(X_{1}\leq x_{1},\ldots,X_{n}\leq x_{n})
Proposición IV.1.

La funcion de distribucion conjunta verifica las siguientes propiedades:

  1. 1.
    ​

    FXF_{X} es monotona no decreciente en cada componente, es decir, si xi<xi′x_{i}<x_{i}^{\prime}, entonces

    FX(x1,…,xi,…,xn)≤FX(x1,…,xi′,…,xn)F_{X}(x_{1},\ldots,x_{i},\ldots,x_{n})\leq F_{X}(x_{1},\ldots,x_{i}^{\prime},% \ldots,x_{n})

    para todo i=1,2,…,ni=1,2,\ldots,n.

  2. 2.
    lı´mx1→∞,…,xn→∞FX(x1,…,xi,…,xn)=1\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x_{1}\to\infty,\ldots,x_{n}% \to\infty}F_{X}(x_{1},\ldots,x_{i},\ldots,x_{n})=1
  3. 3.
    lı´mx1→−∞,…,xn→−∞FX(x1,…,xi,…,xn)=0\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{x_{1}\to-\infty,\ldots,x_{n% }\to-\infty}F_{X}(x_{1},\ldots,x_{i},\ldots,x_{n})=0