18 Teoremas sobre funciones continuas

Supongamos que $f(a)>0$ y $f(b)<0$. Consideramos $\gamma=\frac{a+b}{2}$. Hay tres casos:

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  $f(\gamma)=0$. Entonces $c=\gamma$ y queda demostrado.

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  $f(\gamma)<0$. Defino $a_{1}=a$ y $b_{1}=\gamma$. Entonces $f(a_{1})>0$ y $f(b_{1})<0$ y se puede repetir el proceso. Definimos $\gamma=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}$. Puede ocurrir que $f(\gamma)=0,f(\gamma)>0$ o $f(\gamma)<0$. Si $f(\gamma)=0,c=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}$. Si $f(\gamma)>0$, definimos $a_{2}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}$ y $b_{2}=b_{1}$. Si $f(\gamma)<0$, defino $a_{2}=a_{1}$ y $b_{2}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}$. Si sigo repitiendo el proceso, obtengo que dado $I_{n}=[a_{n},b_{n}],f(a_{n})>0$, $f(b_{n})<0$, $I_{n+1}\subset I_{n}$. Por el teorema de los intervalos anidados (4.2), si $I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ cumple que $I_{n}\supset I_{n+1}\;\forall n\in\mathbb{N}$, entonces $\exists c\in\mathbb{R}$ tal que $c\in I_{n}\;\forall n\in\mathbb{N}$. Falta demostrar que $c$ es el punto tal que $f(c)=0$.

  Sabemos que $b_{1}-a_{1}=\frac{b-a}{2},b_{2}-a_{2}=\frac{b-a}{4}=\frac{b-a}{2^{2}}$. En general, $b_{n}-a_{n}=\frac{b-a}{2^{n}}$.

  Como $c\in I_{n}\;\forall n\in\mathbb{N}$,

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    $a_{n}\leq c\leq b_{n}\Rightarrow a_{n}-a_{n}\leq c-a_{n}\leq b_{n}-a_{n}\Rightarrow 0(\rightarrow 0)\leq c-a_{n}\leq b_{n}-a_{n}=\frac{b-a}{2^{n}}(\rightarrow 0)$. Luego, por el teorema del sandwich, $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}c-a_{n}=0$.

    Por tanto, $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}a_{n}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}c-c+a_{n}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}c-\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}c-a_{n}=c-0=c$ y $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}a_{n}=c$.

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    Siguiendo el mismo razonamiento, también se tiene que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}\limits_{n\to\infty}b_{n}=c$.

  Como $f$ es continua en $[a,b]\subset A$, si $a_{n}\rightarrow c$ entonces $f(a_{n})\rightarrow f(c)$ y si $b_{n}\rightarrow c$ entonces $f(b_{n})\rightarrow f(c)$.

  Además, $f(a_{n})\geq 0\;\forall n$ y $f(b_{n})\leq 0\;\forall n$. Por tanto, la única opción es que $f(c)=0$.

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  $f(\gamma)>0$. Llamamos $a_{1}=\frac{a+b}{2}$ y $b_{1}=b\Rightarrow f(a_{1})>0$ y $f(b_{1})<0$. El proceso es análogo al de cuando $f(\lambda)<0$.

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Sea $W$ una vecindad de $g(b)$. Puesto que $g$ es continua en $b$, existe una vecindad $V$ de $b=f(c)$ tal que si $y\in B\cap V$ entonces $g(y)\in W$. Puesto que $f$ es continua en $c$, existe una vecindad $U$ de $c$ tal que si $x\in A\cap U$, entonces $f(x)\in V$. Puesto que $f(A)\subseteq B$, se sigue que si $x\in A\cap U$, entonces $f(x)\in B\cap V$, de modo que $(g\circ f)(x)=g(f(x))\in W$. Pero como $W$ es una vecindad cualquiera de $g(b)$, esto indica que $g\circ f$ es continua en $c$. ∎

No vista en clase. ∎

No vista en clase. ∎