17 Continuidad

Definition 17.1.

Diremos que una función ff es continua en x0∈D⁢o⁢m⁢fx_{0}\in Domf, con x0x_{0} un punto de acumulación, si y sólo si limx→x0f⁢(x)=f⁢(x0)\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}).

Diremos que ff es continua en un intervalo (a,b)(a,b) si es continua en todos los puntos. De igual forma, diremos que ff es continua en [a,b][a,b] si es continua en (a,b)(a,b) y continua por la derecha de aa y por la izquierda de bb.

Example 17.2.

Funciones continuas en su dominio son: polinomios, sin⁡x\sin x, cos⁡x\cos x, x\sqrt{x}, exe^{x}, ln⁡x,…\ln x,\ldots

Además, sumar o multiplicar dos funciones continuas, dividir dos funciones continuas con denominador distinto de cero, composicion de funciones continuas, es una función continua.

Definition 17.3 (General de continuidad).

Sea A⊂ℝA\subset\mathbb{R}, f:A→ℝf\colon A\to\mathbb{R} y x0∈Ax_{0}\in A, se dice que ff es continua en x0x_{0} si ∀ε>0\forall\varepsilon>0 ∃δ>0\exists\delta>0 tal que ∀x∈(x0−δ,x0+δ)∩A\forall x\in(x_{0}-\delta,x_{0}+\delta)\cap A se cumple que

|f⁢(x)−f⁢(x0)|<ε.\left|f(x)-f(x_{0})\right|<\varepsilon.
Theorem 17.4.

Sea A⊆ℝA\subseteq\mathbb{R}, α0∈A\alpha_{0}\in A. Entonces

f⁢ es continua en ⁢x0⇔(∀{xn}⊂A,xn⟶x0⇒f⁢(xn)→f⁢(x0))f\text{ es continua en }x_{0}\iff(\forall\left\{x_{n}\right\}\subset A,x_{n}% \longrightarrow x_{0}\Rightarrow f(x_{n})\rightarrow f(x_{0}))