15 Dominio e imagen ‣ Parte IV Límites y continuidad ‣ Cálculo

Definición IV.1 (Función).

Una función (de variable real) es una regla cualquiera que hace corresponder un número real y solamente uno a cada número de un cierto conjunto $A\subset\mathbb{R}$ :

\displaystyle f\colon A

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{R}

\displaystyle x

\displaystyle{}\longmapsto f(x)

Definición IV.2.

Al conjunto $A$ le llamaremos dominio de $f$ , denotado por $A=Domf$ , y es el conjunto para los que $f(x)$ tiene sentido. También, llamaremos imagen de $f$ , denotado por $Imf$ , al conjunto de números reales $y$ para los que existe $x\in Domf$ tal que

y=f(x)

Ejemplo IV.1.

Ejemplo IV.2.

$h(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

Dado $x\in Domh$ , se tiene que $1-x^{2}\geq 0,\sqrt{1-x^{2}}\neq 0\Rightarrow 1-x^{2}>0$ . Por tanto, $Domh=\left\{x\in\mathbb{R}\mid 1-x^{2}>0\right\}$

Resolviendo la ecuación, obtenemos como raíces $x=\pm 1$ . Dividiendo por tramos:

Por lo tanto, $Domh=(-1,1)$ ya que es el tramo que cumple que $1-x^{2}>0$ .

Para calcular la imagen de $h$ , sabemos que $y\in Imh$ si $\exists x\in(-1,1)\mid h(x)=y$ .

Para $y\leq 0$ : $\exists x\in(-1,1)\mid h(x)=y\iff 0<\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=y\leq 0$ . No es posible.
Para $y>0$ : si $y\in Imh,\exists x\in(-1,1)$ tal que $h(x)=y\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=y\Rightarrow 1=y(\sqrt{1-x^{2}})% \Rightarrow 1=y^{2}\cdot(1-x^{2})\Rightarrow\frac{1}{y^{2}}=1-x^{2}\Rightarrow x% ^{2}=1-\frac{1}{y^{2}}\Rightarrow x=\pm\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}}$ .

Supongamos $y\in Imh\Rightarrow x\in(-1,1)\mid h(x)=y\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=y% \Rightarrow x=\pm\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}}{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named% ]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}\in\mathbb{R}?}\;1-\frac{1}{y^{2}}\geq 0\iff 1% \geq\frac{1}{y^{2}}\iff y^{2}\geq 1$ . Luego $Imh=[1,\infty)$ .

Cómo comprobamos si $y\in Imh$ ?

$h(\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}})=\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}})^{2}}}=% \frac{1}{\sqrt{1-1+\frac{1}{y^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{y^{2}}}}=\sqrt{y^% {2}}=|y|=y$ .
Además, $\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}}\in(0,1)$ .
- •
  
  $\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}}\geq 0$ .
- •
  
  $\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}}<1$ . $0<\frac{1}{y^{2}}\Rightarrow 1<\frac{1}{y^{2}}+1\Rightarrow 1-\frac{1}{y^{2}}<% \frac{1}{y^{2}}+1-\frac{1}{y^{2}}\Rightarrow 1-\frac{1}{y^{2}}<1\Rightarrow% \sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}}<\sqrt{1}=1$

Proposición IV.1.

Sea $f\colon A\to\mathbb{R}$ una funcion y un conjunto $B\subset A$ . Diremos que:

$f$ es creciente en $B$ si para todo $x_{1},x_{2}\in B$ , $x_{1}<x_{2}$ , $f(x_{1})\leq f(x_{2})$ .
$f$ es decreciente en $B$ si para todo $x_{1},x_{2}\in B,$ $x_{1},x_{2}\in B$ , $x_{1}<x_{2}$ , $f(x_{1})\geq f(x_{2})$ .

Diremos que es estricto cuando aparezca la desigualdad estricta.

Proposición IV.2.

Sea $f\colon A\to\mathbb{R}$ tal que si $x\in A$ , $-x\in A$ . Diremos que:

$f$ es par si $f(-x)=f(x)$ para todo $x\in A$
$f$ es impar si $f(-x)=-f(x)$ para todo $x\in A$ .

Definición IV.3.

Sea $f\colon A\to\mathbb{R}$ . Diremos que:

$f$ es acotada superiormente si $\exists K\in\mathbb{R}$ tal que $f(x)\leq K\;\forall x\in A$
$f$ es acotada inferiormente si $\exists K\in\mathbb{R}$ tal que $f(x)\geq K\;\forall x\in A$
$f$ es acotada si $\exists K\in\mathbb{R}$ tal que $|f(x)|\leq K\;\forall x\in A$ , o equivalentemente $\exists K_{1},K_{2}\in\mathbb{R}$ tal que $K_{2}\leq f(x)\leq K_{1}$ (acotada inferior y superiormente).

Definición IV.4 (Composición).

Sea $f\colon A\to\mathbb{R}$ y $g:B\to R$ tal que $f(a)\subset B$ . Se define la función composición como

\displaystyle g\circ f\colon A

\displaystyle{}\longrightarrow\mathbb{R}

\displaystyle x

\displaystyle{}\longmapsto(g\circ f)(x)=g(f(x))

Definición IV.5 (Inversa).

Sea $f\colon A\to B$ . Decimos que $g$ y $f$ , con $g\colon B\to A$ , son funciones inversas si:

(g\circ f)(x)=x\quad\forall x\in A\text{ y }(f\circ g)(x)=x\quad\forall x\in B% \quad(g=f^{-1})