4 Propiedades topológicas de los numeros reales

A partir de esta propiedad se siguen consecuencias muy importantes que permiten relacionar los naturales, enteros y racionales con los numeros reales:

Supongamos que tenemos $[a_{1},b_{1}],[a_{2},b_{2}],\ldots,[a_{n},b_{n}],\ldots$ con $n\in\mathbb{N}$ infinitos intervalos cerrados. Estos intervalos estan encajados cuando se verifica que $[a_{n},b_{n}]\subset[a_{n-1},b_{n-1}]$, es decir, cuando cada intervalo esta contenido en el anterior. Cuando tenemos infinitos intervalos cerrados encajados ocurre el “principio de los intervalos encajados de Cantor”: Si $[a_{1},b_{1}],[a_{2},b_{2}],\ldots,[a_{n},b_{n}],\ldots$ son infinitos intervalos encajados, entonces hay al menos un punto comun a todos los intervalos ya que, si consideramos el conjunto $A=\left\{a_{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}$ formado por todos los extremos izquierdos de los intervalos, al estar todos los intervalos encajados, resulta que:

De la misma manera resulta que $a_{n}\leq b_{m}$ para cualesquiera $m,n\in\mathbb{N}$, ya que en caso contrario los intervalos dejarian de estar encajados.

En particular, el conjunto $A$ es acotado. Sea $a=\sup A$. Por un lado $a_{n}\leq a$, ya que es una cota superior de $A$. Por otro lado, como cualquier $b_{n}$ es cota superior de $A$, por lo que el supremo sera menor, es decir, $a\leq b_{n}$. Esto quiere decir que sea cual sea $n,a\in[a_{n},b_{n}]$, y por tanto $a$ es un punto comun a todos estos intervalos.²² 2 No visto en clase.

Entre dos numeros reales distintos cualesquirea siempre existe un numero racional (de hecho, infinitos)². Concretamente:

Dado $x\in\mathbb{R}$ se define su valor absoluto como $|x|=max\left\{x,-x\right\}=\begin{dcases}x\text{ si }x\geq 0,\\ -x\text{ si }x<0\end{dcases}$.

Algunas propiedades del valor absoluto son:

• •
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  $|x\cdot y|=|x|\cdot|y|\;\forall x,y\in\mathbb{R}$. Veamos la demostracion.

  Sabemos que $|x|=\begin{dcases}x\text{ si }x\geq 0\\ -x\text{ si }x<0\end{dcases}$ y $|y|=\begin{dcases}y\text{ si }y\geq 0\\ -y\text{ si }y<0\end{dcases}$.

  Por tanto, $|x\cdot y|=\begin{dcases}x\cdot y\text{ si }xy\geq 0\\ -x\cdot y\text{ si }xy<0\end{dcases}$

  Consideramos los 4 casos segun el valor de $x$ e $y$.

  • –
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    Si $x\geq 0$, $y\geq 0$, $|x|\cdot|y|=x\cdot y=|x\cdot y|$

  • –
    ​

    Si $x\geq 0$, $y<0$, entonces $|x|\cdot|y|=x\cdot(-y)=-(x\cdot y)=|x\cdot y|$.

  • –
    ​

    Si $x<0$, $y\geq 0$, entonces $|x|\cdot|y|=(-x)\cdot y=-(x\cdot y)=|x\cdot y|$

  • –
    ​

    Si $x<0,y<0$, $|x|\cdot|y|=(-x)(-y)=x\cdot y=|x\cdot y|$

• •
  ​

  Dados $x\in\mathbb{R}$ y $a\geq 0$, se tiene que $|x|\leq a\iff-a\leq x\leq a$.

  $|x|=max\left\{x,-x\right\}\leq a\iff x\leq a$ y $-x\leq a$ $\iff x\leq a$ y $x\geq-a$ $\iff-a\leq x\leq a$

  Example 4.7.

  $|x-a|\leq\varepsilon\iff-\varepsilon\leq x-a\leq\varepsilon\iff x-\varepsilon\leq x\leq a+\varepsilon\iff x\in[a-\varepsilon,a+\varepsilon]$

  $|x-a|<\varepsilon\iff x\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$

• •
  ​

  Es falso que $|x+y|=|x|+|y|\;\forall x,y\in\mathbb{R}$. Consideramos un contraejemplo: $|3+(-3)|=|3|+|-3|=6\neq 0$.

• •
  ​

  $|x+y|\leq|x|+|y|$, o equivalentemente, $-(|x|+|y|)\leq|x+y|\leq|x|+|y|$. Veamos la demostración:

  $$\begin{array}[]{c}-|x|\leq x\leq|x|\\ -|y|\leq y\leq|y|\\ \hline\cr-|x|-|y|\leq x+y\leq|x|+|y|\end{array}$$
• •
  ​

  En general, es falso que dados $x,y\in\mathbb{R}$ $|x-y|\leq|x|-|y|$ ya que, por ejemplo, si tomamos $x=3$ y $y=-2$, se cumple $\underbrace{|x-y|}_{=5}>\underbrace{|x|}_{=3}-\underbrace{|y|}_{=2}=1$

Dado un numero real $x\in\mathbb{R}$, se denomina entorno de $x$ a cualquier intervalo $(a,b)$ tal que $x\in(a,b)$. Habitualmente se suelen considerar entornos centrados en el punto $x$, de manera que si $\varepsilon>0$, $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$ es un entorno de $x$. También se considera lo que se denomina “entorno reducido” del punto $x$, que es cualquier entorno de $x$ en el que se ha eliminado el propio punto $x$, por ejemplo, $(x-\varepsilon,x)\cup(x,x+\varepsilon)=(x-\varepsilon,x+\varepsilon)-\left\{x\right\}$. Dado $A\subset\mathbb{R}$ se dice que:

• •
  ​

  $x\in A$ es un punto interior de $A$ si existe un entorno de $x$ completamente contenido en $A$, es decir, si existe $\varepsilon>0$ tal que $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset A$.

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  $x\in\mathbb{R}$ es punto adherente de $A$ si en cualquier entorno de $x$ hay puntos de $A$, es decir, si $\forall\varepsilon>0$ se verifica que $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap A\neq\varnothing$.

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  $x\in\mathbb{R}$ es un punto de acumulacion de $A$ si en cualquier entorno reducido de $x$ hay puntos de $A$, es decir, si $\forall\varepsilon>0$ se verifica que $((x-\varepsilon,x+\varepsilon)-\left\{x\right\})\cap A\neq\varnothing$.

  $$A^{\prime}=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x\text{ es un punto de acumulacion de }A\right\}$$

Dado ahora $A\subset\mathbb{R}$,

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  al conjunto $\AA$ formado por todos los puntos interiores de $A$ se le denomina interior de $A$. Obviamente $\AA\subset A$.

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  al conjunto $\overline{A}$ formado por todos los puntos adherentes de $A$ se le denomina adherencia de $A$. Evidentemente $\overline{A}\subset A$. Si $\overline{A}=A$ se dice que el conjunto $A$ es cerrado.