18 Teoremas sobre funciones continuas ‣ Part IV Límites y continuidad ‣ Cálculo

Theorem 18.1 (de Bolzano).

Sean $a,b\in\mathbb{R}$ con $a<b$ y supongamos que $f\colon A\to\mathbb{R}$ es continua en $[a,b]\subset A$ . Si se cumple que

\text{signo}(f(a))\neq\text{signo}(f(b))\text{ con }f(a)\neq 0\text{ y }f(b)\neq 0

entonces existe $c\in(a,b)$ tal que $f(c)=0$ .

Proof 18.2.

Supongamos que $f(a)>0$ y $f(b)<0$ . Consideramos $\gamma=\frac{a+b}{2}$ . Hay tres casos:

•

$f(\gamma)=0$ . Entonces $c=\gamma$ y queda demostrado.
•

$f(\gamma)<0$ . Defino $a_{1}=a$ y $b_{1}=\gamma$ . Entonces $f(a_{1})>0$ y $f(b_{1})<0$ y se puede repetir el proceso. Definimos $\gamma=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}$ . Puede ocurrir que $f(\gamma)=0,f(\gamma)>0$ o $f(\gamma)<0$ . Si $f(\gamma)=0,c=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}$ . Si $f(\gamma)>0$ , definimos $a_{2}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}$ y $b_{2}=b_{1}$ . Si $f(\gamma)<0$ , defino $a_{2}=a_{1}$ y $b_{2}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}$ . Si sigo repitiendo el proceso, obtengo que dado $I_{n}=[a_{n},b_{n}],f(a_{n})>0$ , $f(b_{n})<0$ , $I_{n+1}\subset I_{n}$ . Por el teorema de los intervalos anidados (4.2), si $I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ cumple que $I_{n}\supset I_{n+1}\;\forall n\in\mathbb{N}$ , entonces $\exists c\in\mathbb{R}$ tal que $c\in I_{n}\;\forall n\in\mathbb{N}$ . Falta demostrar que $c$ es el punto tal que $f(c)=0$ .

Sabemos que $b_{1}-a_{1}=\frac{b-a}{2},b_{2}-a_{2}=\frac{b-a}{4}=\frac{b-a}{2^{2}}$ . En general, $b_{n}-a_{n}=\frac{b-a}{2^{n}}$ .
Como $c\in I_{n}\;\forall n\in\mathbb{N}$ ,
- –
  
  $a_{n}\leq c\leq b_{n}\Rightarrow a_{n}-a_{n}\leq c-a_{n}\leq b_{n}-a_{n}% \Rightarrow 0(\rightarrow 0)\leq c-a_{n}\leq b_{n}-a_{n}=\frac{b-a}{2^{n}}(% \rightarrow 0)$ . Luego, por el teorema del sandwich, $\lim\limits_{n\to\infty}c-a_{n}=0$ .
  
  Por tanto, $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=\lim\limits_{n\to\infty}c-c+a_{n}=\lim\limits_{n% \to\infty}c-\lim\limits_{n\to\infty}c-a_{n}=c-0=c$ y $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=c$ .
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  Siguiendo el mismo razonamiento, también se tiene que $\lim\limits_{n\to\infty}b_{n}=c$ .
Como $f$ es continua en $[a,b]\subset A$ , si $a_{n}\rightarrow c$ entonces $f(a_{n})\rightarrow f(c)$ y si $b_{n}\rightarrow c$ entonces $f(b_{n})\rightarrow f(c)$ .
Además, $f(a_{n})\geq 0\;\forall n$ y $f(b_{n})\leq 0\;\forall n$ . Por tanto, la única opción es que $f(c)=0$ .
•

$f(\gamma)>0$ . Llamamos $a_{1}=\frac{a+b}{2}$ y $b_{1}=b\Rightarrow f(a_{1})>0$ y $f(b_{1})<0$ . El proceso es análogo al de cuando $f(\lambda)<0$ .

Example 18.3.

•

$\exists x\in\mathbb{R}\text{ tal que }\cos(x)=x$ ?

$f(x)=\cos x-x\in C(\mathbb{R})$ (continua). Se tiene que $F(0)=\cos 0-0=1>0$ y $F(\frac{\pi}{2})=\cos\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}<0$ . Por el teorema de Bolzano, sabemos que $\exists c\in(0,\frac{\pi}{2})$ tal que $F(c)=0\Rightarrow\cos c-c=0\Rightarrow\cos c=c$ .

Example 18.4.

•

Ejercicio 5 pg 147 - Sea que $f,g$ esten definidas en $A\subseteq\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ y sea $c$ punto de acumulacion de $A$ . Supongase que $f$ esta acotada en una vecindad de $c$ y que $\lim\limits_{x\to c}g=0$ . Demostrar que $\lim\limits_{x\to c}fg=0$ .

Es decir, que para $\forall\varepsilon>0,\text{tomando }\frac{\varepsilon}{M},\;\exists\delta>0$ tal que $\forall x\in(c-\delta,c+\delta)\cap A$ , $\left|f(x)g(x)-0\right|<\frac{\varepsilon}{M}$ .

Sabemos que $f$ esta acotada alrededor de $c$ , es decir, existe $M>0$ , $\exists\hat{\delta}>0$ , $\left|f(x)\right|<M\;\forall x\in(c-\hat{\delta},c+\hat{\delta})$ .

Por otro lado, sea $\varepsilon>0$ . Sabemos que $\lim\limits_{x\to c}g=0$ , entonces para $\frac{\varepsilon}{M}$ $\exists\overline{\delta}>0$ tal que $\forall x\in(c-\overline{\delta},c+\overline{\delta})\cap A,\left|g(x)-0\right% |<\frac{\varepsilon}{M}$ .

Si tomamos $\delta=\min\left\{\overline{\delta},\hat{\delta}\right\}$ . Tengo que probar que $\forall x\in(c-\delta,c+\delta)\cap A,x\neq c$ , se cumple $\left|f(x)g(x)-0\right|<\varepsilon$ . Luego

$\left|f(x)g(x)-0\right|=\left|f(x)g(x)\right|=\left|f(x)\right|\cdot\left|g(x)% \right|<M\cdot\frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon$

Theorem 18.5.

Sean $A,B\subseteq\mathbb{R}$ y sean $f\colon A\to\mathbb{R}$ y $g\colon B\to\mathbb{R}$ funciones tales que $f(A)\subseteq B$ . Si $f$ es continua en un punto $c\in A$ y $g$ es continua en $b=f(c)\in B$ , entonces la composición $g\circ f\colon A\to\mathbb{R}$ es continua en $c$ .

Proof 18.6.

Sea $W$ una vecindad de $g(b)$ . Puesto que $g$ es continua en $b$ , existe una vecindad $V$ de $b=f(c)$ tal que si $y\in B\cap V$ entonces $g(y)\in W$ . Puesto que $f$ es continua en $c$ , existe una vecindad $U$ de $c$ tal que si $x\in A\cap U$ , entonces $f(x)\in V$ . Puesto que $f(A)\subseteq B$ , se sigue que si $x\in A\cap U$ , entonces $f(x)\in B\cap V$ , de modo que $(g\circ f)(x)=g(f(x))\in W$ . Pero como $W$ es una vecindad cualquiera de $g(b)$ , esto indica que $g\circ f$ es continua en $c$ .

Theorem 18.7 (Teorema de Darboux).

Sean $a,b\in\mathbb{R}$ con $a<b$ y supongamos que $f\colon A\to\mathbb{R}$ es continua en $[a,b]\subset A$ .

•

Si $f(a)<f(b)$ , entonces para cada $z\in(f(a),f(b))$ , existe $c\in(a,b)$ tal que

$f(c)=z$
•

Si $f(a)>f(b)$ entonces para cada $z\in(f(b),f(a))$ , existe $c\in(a,b)$ tal que

$f(c)=z$

Proof 18.8.

No vista en clase.

Theorem 18.9 (Teorema de Weierstrass).

Sean $a,b\in\mathbb{R}$ con $a<b$ y supongamos que $f\colon A\to B$ es continua en $[a,b]\subset A$ .

Entonces:

f\text{ esta acotada en }[a,b]

Ademas, existen $x_{m},x_{M}\in[a,b]$ tales que

f(x_{m})\leq f(x)\leq f(x_{M})\;\forall x\in[a,b]

Proof 18.10.

No vista en clase.