36 Matriz de varianzas-covarianzas y vector de medias

Sea X=(X1,…,Xn)′X=(X_{1},\ldots,X_{n})^{\prime} un vector aleatorio n−n-dimensional. La matriz de varianzas y covarianzas de XX es la matriz cuadrada

σX=(V(X1)Cov(X1,X2)⋯Cov(X1,Xn)Cov(X2,X1)V(X2)⋯Cov(X2,Xn)⋮⋮⋱⋮Cov(Xn,X1)Cov(Xn,X1)⋯V(Xn))\sigma_{X}=\begin{pmatrix}V(X_{1})&Cov(X_{1},X_{2})&\cdots&Cov(X_{1},X_{n})\\ Cov(X_{2},X_{1})&V(X_{2})&\cdots&Cov(X_{2},X_{n})\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ Cov(X_{n},X_{1})&Cov(X_{n},X_{1})&\cdots&V(X_{n})\\ \end{pmatrix}

Puesto que

Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]=E[YX]−E[Y]E[X]=Cov(Y,X)Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=E[YX]-E[Y]E[X]=Cov(Y,X)

es una matriz simetrica. Ademas, puede demostrarse que siempre es semidefinida positiva.

Sea X=(X1,X2,…,Xn)′X=(X_{1},X_{2},\ldots,X_{n})^{\prime} un vector aleatorio nn-dimensional. El vector de medias de XX es

μX=(E(X1)E(X2)⋮E(Xn))=(μ1μ2⋮μn)\mu_{X}=\begin{pmatrix}E(X_{1})\\ E(X_{2})\\ \vdots\\ E(X_{n})\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mu_{1}\\ \mu_{2}\\ \vdots\\ \mu_{n}\\ \end{pmatrix}