Parte III Espacio afín

Definición III.1 (Espacio afin).

Un espacio afin ( $A,V,+$ ) donde

$A$ es un conjunto no vacio.
$V$ es un espacio vectorial.
$+$ (notacion) es una aplicacion

$\displaystyle+\colon A\times V$

$\displaystyle{}\longrightarrow A$

$\displaystyle(P,v)$

$\displaystyle{}\longmapsto P+v$

que cumple
1. 1.
  
  $\forall P,Q\in A\;\exists!v\in V$ tal que $P+v=Q$
2. 2.
  
  $\forall P\in A,\forall v,w\in V$ , $(P+v)+w=P+(v+w)$ .

Los elementos de $A$ se llaman puntos, y el unico vector $v\in V$ que cumple $P+v=Q$ se denota $\vec{PQ}$ .

Ejemplo III.1.

$A=\mathbb{R}^{2}$ , $V=\mathbb{R}^{2}$ ,

$\displaystyle+\colon A\times\mathbb{R}^{2}$

$\displaystyle{}\longrightarrow A$

$\displaystyle((p_{1},p_{2}),(x_{1},x_{2}))$

$\displaystyle{}\longmapsto(p_{1}+x_{1},p_{2}+x_{2})$

Veamos que se cumple $1)$ y $2)$ .
1. 1.
  
  $\begin{rcases}P=(p_{1},p_{2})\\ Q=(q_{1},q_{2})\end{rcases}\quad(p_{1},p_{2})+\underbrace{(q_{1}-p_{1},q_{2}-p% _{2})}_{v}=(q_{1},q_{2})\quad\vec{PQ}=(p_{1}-q_{1},p_{2}-q_{2})$
2. 2.
  
  $[(p_{1},p_{2})+(x_{1},x_{2})]+(y_{1},y_{2})=(p_{1}+x_{1}+y_{1},p_{2}+x_{2}+y_{% 2})=(p_{1},p_{2})+[(x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})]$
Espacio afin estandar: $A=K^{n}$ , $V=K^{n}$ con $P+v=(p_{1}+x_{1},\ldots,p_{2}+x_{n})$ .
$A=\mathbb{R}^{2}$ y $V=\mathbb{R}_{1}[x]$ . Dado $P=(a,b),v=p(x)$ , $+$ se define como

$P+v=(p(1)+a,p(2)+b)\overset{p(x)=\alpha_{0}+\alpha_{1}x}{=}(\alpha_{0}+\alpha_% {1}+a,\alpha_{0}+2\alpha_{1}+b)$

Veamos que es espacio afin:
1. 1.
  
  Dados $P=(a,b)$ y $Q=(c,d)$ , tenemos que ver si existe un unico $p(x)=\alpha_{0}+\alpha_{1}x$ tal que $P+p(x)=Q$ .
  
  $(a,b)+(\alpha_{0}+\alpha_{1}x)=(c,d)\Rightarrow(\alpha_{0}+\alpha_{1}+a,\alpha% _{0}+2\alpha_{1}+b)=(c,d)$
  
  Obtenemos el sistema
  
  $\begin{cases}\alpha_{0}+\alpha_{1}+a=c\\ \alpha_{0}+2\alpha_{1}+b=d\end{cases}$
  
  Por lo tanto, tenemos que comprobar que sea sistema compatible determinado. Tambien nos interesa calcularlo para saber que es $\vec{PQ}$ .
  
  $\begin{array}[]{c}\alpha_{1}+b-a=d-c\\ \boxed{\alpha_{1}=d-c-b+a}\\ \alpha_{0}+d-c-b+a+a=c\\ \boxed{\alpha_{0}=-2a+b+2c-d}\end{array}$
  
  Por lo tanto, $\vec{PQ}=\vec{(a,b),(c,d)}=(-2a+b+2c+d)+(d-c-b+a)x$ y se cumple 1).
2. 2.
  
  Dados $P=(a,b),v=\alpha_{0}+\alpha_{1}x$ y $w=\beta_{0}+\beta_{1}x$ ,
  
  ${}(P+v)+w=(\alpha_{0}+\alpha_{1}+a,\alpha_{0}+2\alpha_{1}+b)+(\beta_{0}+\beta_% {1}x)\\ {}=(\beta_{0}+\beta_{1}+\alpha_{0}+\alpha_{1}+a,\beta_{0}+2\beta_{1}+\alpha_{0% }+2\alpha_{1}+b)$
  
  ${}P+(v+w)=(a,b)+(\alpha_{0}+\beta_{0}+(\alpha_{1}+\beta_{1})x)=(\alpha_{0}+% \beta_{0}+\alpha_{1}+\beta_{1}+a,\alpha_{0}+\beta_{0}+2\alpha_{1}+2\beta_{1}+b)$
  
  Son iguales. Por tanto, se cumple la condicion y es espacio afin.
Sea $A=\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}=z\right\}$ y $V=\mathbb{R}^{{}_{1}}[t]$ . Ademas, dado $P=(x,y,x^{2}+y^{2})$ y $p(t)=\alpha+\beta t$ , definimos $P+v=(x+\alpha,y+\beta,(x+\alpha)^{2}+(y+\beta)^{2})\in A$ .
1. 1.
  
  Dados $P=(x,y,x^{2}+y^{2})$ y $Q=(z,u,z^{2}+u^{2})$ ,
  
  $(x,y,x^{2}+y^{2})+(\alpha+\beta t)=(x+\alpha,y+\beta,(x+\alpha)^{2}+(y+\beta)^% {2})=(z,u,z^{2}+u^{2})$
  
  $\begin{cases}x+\alpha=z\quad\boxed{\alpha=z-x}\\ y+\beta=u\quad\boxed{\beta=u-y}\\ (x+\alpha)^{2}+(y+\beta)^{2}=z^{2}+u^{2}\end{cases}$
  
  Es un SCD cuya unica solucion es $\vec{(x,y,x^{2}+y^{2}),(z,u,z^{2}+u^{2})}=(z-x)+(u-y)t\in\mathbb{R}_{1}[t]$ .
2. 2.
  Dado $P=(x,y,x^{2}+y^{2})$ , $v=\alpha+\beta t$ , $w=\gamma+\delta t$ ,
  - •
    
    ${}(P+v)+w=(x+\alpha,y+\beta,(x+\alpha)^{2}+(y+\beta)^{2})+\gamma+\delta t=\\ {}=(x+\alpha+\gamma,y+\beta+\delta,(x+\alpha+\gamma)^{2}+(y+\beta+\delta)^{2})$
  - •
    
    ${}P+(v+w)=(x,y,x^{2}+y^{2})+\alpha+\gamma+(\beta+\delta)t=\\ {}=(x+\alpha+\gamma,y+\beta+\delta,(x+\alpha+\gamma)^{2}+(y+\beta+\delta)^{2})$
Luego es un espacio afin.

Definición III.2.

Llamamos dimension del espacio afin a la dimension del espacio vectorial asociado.

Proposición III.1 (Propiedades basicas).

a)

$\vec{PQ}+\vec{QR}=\vec{PR}\;\forall P,Q,R\in A$ .
b)

$\vec{PP}=0\;\forall P\in A$ .
c)

$\vec{PQ}=-\vec{QP}\;\forall P,Q\in A$ .

Demostración.

a)

Veamos que $P+(\vec{PQ}+\vec{QR})=R$ :

$P+(\vec{PQ}+\vec{QR})\overset{2)}{=}\underbrace{(P+\vec{PQ})}_{Q}+\vec{QR}=R$

usando 1) de la definicion, como el vector que une $P$ con $R$ es unico, se tiene $\vec{PR}=\vec{PQ}+\vec{QR}$ .
b)

Por a), sabemos que $\vec{PP}=\vec{PP}+\vec{PP}$ . Restando $\vec{PP}$ en ambos lados, obtenemos que $\vec{PP}=0_{V}$ .
c)

Veamos que $\vec{PQ}$ es el opuesto de $\vec{QP}$ . Se tiene que $\vec{QP}+\vec{PQ}=\vec{QQ}$ por el apartado a). Por b), llegamos a que $\vec{QQ}=0_{V}$ , es decir, $\vec{PQ}=-\vec{QP}$ , como queriamos demostrar.

∎

Definición III.3 (Sistema de referencia).

Un sistema de referencia de un espacio afin es $R=(O,B=\left\{v_{1},\ldots,v_{n}\right\})$ donde

$O\in A$ es un punto y se llama origen del sistema de referencia.
$B=\left\{v_{1},\ldots,v_{n}\right\}$ es una base de $V$ .

Definición III.4 (Coordenadas de un punto).

Dado un sistema de referencia $R=(O;B)$ y un punto $P\in A$ , llamamos coordenadas de $P$ respecto de $R$ , y lo denotamos por $(P)_{R}$ , como las coordenadas del vector $(\vec{OP})_{B}$ .

Es decir, $(P)_{B}=(x_{1},\ldots,x_{n})$ tales que $\vec{OP}=x_{1}v_{1}+\cdots+x_{n}v_{n}$ .

Como cambian las coordenadas de un punto al cambiar de sistema de referencia?

Sea $(A,V,+)$ un espacio afin. Sea un sistema de referencia $R=(O;B=\left\{v_{1},\ldots,v_{n}\right\})$ y otro sistema de referencia $\tilde{R}=(\tilde{O};\tilde{B}=\left\{\tilde{v_{1}},\ldots,\tilde{v_{n}}\right\})$ .

Dado $P\in A$ , podemos escribir las coordenadas de $P$ respecto de $R$ y $\tilde{R}$ :

\begin{array}[]{c}(P)_{R}=(x_{1},\ldots,x_{n})=(\vec{OP})_{B}\\ (P)_{\tilde{R}}=(\tilde{x_{1}},\ldots,\tilde{x_{n}})=(\vec{\tilde{O}P})_{% \tilde{B}}\end{array}

Buscamos relacionar $(x_{1},\ldots,x_{n})$ y $(\tilde{x_{1}},\ldots,\tilde{x_{n}})$ . Para ello, necesitamos

conocer la matriz de cambio de base de $\tilde{B}$ a $B$ : $P=M(id,\tilde{B},B)$
$(\tilde{O})_{R}=(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n})$ .

Sabemos que $(\vec{OP})_{B}=(\vec{O\tilde{O}}+\tilde{O}P)_{B}=(\vec{O\tilde{O}})_{B}+(% \tilde{O}P)_{B}$ , con $(\vec{O\tilde{O}})_{B}$ siendo el $(\tilde{O})_{R}$ que buscamos.

Como $P\cdot\begin{pmatrix}\tilde{x_{1}}\\ \vdots\\ \tilde{x_{n}}\\ \end{pmatrix}=(\tilde{O}P)_{B}$ ,

\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha_{1}\\ \vdots\\ \alpha_{n}\\ \end{pmatrix}+P\cdot\begin{pmatrix}\tilde{x_{1}}\\ \vdots\\ \tilde{x_{n}}\\ \end{pmatrix}(*)

Vamos a construir una matriz $(n+1)\times(n+1)$ definida del siguiente modo:

\left(\begin{array}[]{c|c}1&0\cdots\cdots\\ \hline\cr\alpha_{1}&\\ \vdots&P\\ \alpha_{n}&\end{array}\right)=Q

que recibe el nombre de matriz del cambio de sistema de referencia.

Por lo tanto, $(*)$ es equivalente a

\left(\begin{array}[]{c}1\\ \hline\cr x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}[]{c|c}1&0\cdots\cdots\\ \hline\cr\alpha_{1}&\\ \vdots&P\\ \alpha_{n}&\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}[]{c}1\\ \hline\cr\tilde{x_{1}}\\ \vdots\\ \tilde{x_{n}}\end{array}\right)