6 Diagonalización por congruencia ortogonal de endomorfismos simétricos/hermíticos

$1$) $\Rightarrow 2$)

Obvio.

$2)\Rightarrow 3)$

Sea $BON=\left\{v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right\}$ tal que $M(F,BON)=A$ y cumple $\overline{A}^{t}=A$.

Sea $v,w\in V\Rightarrow v=x_{1}v_{1}+\ldots+x_{n}v_{n}$ y $w=y_{1}v_{1}+\ldots+y_{n}v_{n}$. Entonces

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  $f(v)=\hat{x_{1}}v_{1}+\ldots+\hat{x_{n}}v_{n}$ donde $A\cdot\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\hat{x_{1}}\\ \vdots\\ \hat{x_{n}}\\ \end{pmatrix}$

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  $f(w)=\hat{y_{1}}v_{1}+\ldots+\hat{y_{n}}v_{n}$ donde $A\cdot\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\hat{y_{1}}\\ \vdots\\ \hat{y_{n}}\\ \end{pmatrix}$

Recordamos que la matriz de $\langle,\rangle$ respecto de $BON$ es la identidad. Entonces

$${}\langle f(v),w\rangle=\begin{pmatrix}\overline{\hat{x_{1}}}&\ldots&\overline{\hat{x_{n}}}\\ \end{pmatrix}\cdot J\cdot\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\overline{x_{1}}&\cdots&\overline{x_{n}}\\ \end{pmatrix}\cdot\overline{A}^{t}\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\overline{x_{1}}&\cdots&\overline{x_{n}}\\ \end{pmatrix}\cdot A\cdot\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\\ \end{pmatrix}=\\ {}=\begin{pmatrix}\overline{x_{1}}&\cdots&\overline{x_{n}}\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\\ \end{pmatrix}=\langle v,f(w)\rangle$$

$3)\Rightarrow 1)$

Sea $BON=\left\{v_{1},\ldots,v_{n}\right\}$ una base ortonormal cualquiera de $V$ y sea $A=M(f,BON)$. Queremos probar que $\overline{A}^{t}=A=(a_{ij})$, es decir, $\overline{a_{ij}}=a_{ji}$.

$${}a_{ji}=\underbrace{\begin{pmatrix}0&\cdots&1(j)&0&\cdots&0\\ \end{pmatrix}}_{v_{j}}\underbrace{A\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 1(i)\\ \vdots\\ 0\\ \end{pmatrix}}_{f(v_{i})}=\langle v_{j},f(v_{i})\rangle\overset{3)}{=}\langle f(v_{j}),v_{i}\rangle=\\ {}=\begin{pmatrix}0&\cdots&1(j)&\cdots&0\\ \end{pmatrix}\overline{A}^{t}\begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 1(i)\\ \vdots\\ 0\\ \end{pmatrix}=[\overline{A}^{t}]_{ji}=\overline{a_{ij}}$$

Sea $V$ e.v. complejo y $f\colon V\to V$ hermitica. Sea $\lambda$ una raiz de $p_{f}(x)\in\mathbb{C}[x]$ (polinomio caracteristico). Veamos que $\overline{\lambda}=\lambda$ (es decir, $\lambda\in\mathbb{R}$).

Sabemos que $\exists 0\neq v\in V$ tal que $f(v)=\lambda v$. Se tiene que

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  $\langle v,f(v)\rangle=\langle v,\lambda v\rangle=\lambda\langle v,v\rangle$.

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  $\langle f(v),v\rangle=\langle\lambda v,v\rangle=\overline{\lambda}\langle v,v\rangle$.

Como $\langle v,f(v)\rangle=\langle f(v),v\rangle$, $(\lambda-\overline{\lambda})\underbrace{\langle v,v\rangle}_{>0}=0\Rightarrow\lambda=\overline{\lambda}\in\mathbb{R}$

Lo demostraremos por reduccion al absurdo. Supongamos que $\underbrace{S_{\lambda_{1}}\oplus\cdots\oplus S_{\lambda_{s}}}_{U}<V$. Sabemos que $V=U\oplus U^{\perp}$ (como $U\neq V,U^{\perp}\neq 0_{V}$). Sea

Veamos que $g$ esta bien definida, es decir, $g(U^{\perp})\subseteq U^{\perp}$: sea $v\in U^{\perp}$, $g(v)\in U^{\perp}$? $g(v)$ es ortogonal a todos los vectores de $U$?

Tomemos $w\in S_{\lambda_{i}}$, $f(w)=\lambda_{i}w$.

Como $f$ es endomorfismo, $g$ tambien lo es. Ademas, tambien es hermitico ya que $\forall v,w\in U^{\perp}$ $\langle v,g(w)\rangle=\langle v,f(w)\rangle=\langle f(v),w\rangle=\langle g(v),w\rangle$.

Por la proposicion 6.4, $g$ tiene un autovalor real $\beta$, y existe $0_{v}\neq v\in U^{\perp}$ tal que $\underbrace{g(v)}_{f(v)}=\beta v$, por lo que $\beta$ es uno de los $\lambda$’s de antes ($\beta=\lambda_{i}$ para algun i).

Luego $f(v)=\lambda_{i}v\Rightarrow v\in S_{\lambda_{i}}\subseteq U$. Como $v$ es no nulo, no puede estar en $U$ y en $U^{\perp}$ a la vez. Hemos llegado a una contradicción.

Sea $v\in S_{\lambda}$ ($f(v)=\lambda v$) y $w\in S_{\mu}(f(w)=\mu w)$.

Por las proposiciones anteriores, sabemos que $S_{\lambda_{1}}\oplus\cdots\oplus S_{\lambda_{s}}=V$, $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{s}\in\mathbb{R}$ y que los subespacios propios son ortogonales dos a dos.

En primer lugar, arreglamos $B_{1},B_{2},\ldots,B_{n}$ para que sean bases ortonormales de $S_{\lambda_{1}},\ldots,S_{\lambda_{n}}$ (usando Gram-Schmidt).

Tomamos como base $B_{V}=\bigcup_{i=1}^{s}B_{i}$, que es base ortonormal de $V$ por la proposición 6.9.